توابع حركة النوّاس المرن والطاقة

الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال هو الذي وصلنا إليه في الجزء الأوّل من الدرس:

ويسأل الكتاب: ما شكل هذا التابع بفرض أنّ الجسم كان في مطاله الأعظميّ الموجب $\bar{x}=+X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ في اللحظة $t=0$؟ نعوّض في الشكل العامّ: $X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos (0+\bar{\phi })$، فـ $\cos \bar{\phi }=1$، أي $\bar{\phi }=0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$.

ثمّ يطلب الكتاب أن نكمل جدول المطال في خمس لحظاتٍ خلال دورٍ واحد. بالتعويض في الشكل المختزل:

تذكّر: «إنّ تابع السرعة هو المشتقّ الأوّل لتابع المطال بالنسبة للزمن.» الكتاب، الصفحة 9.

وجدول السرعة في اللحظات الخمس نفسها، كما يطلبه الكتاب:

انتبه: 🚨 فرّق بين طويلة السرعة وقيمتها الجبريّة. $v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ طويلةٌ موجبة، أمّا $\bar{v}$ فتحمل إشارة جهة الحركة: في اللحظة ${\displaystyle \frac{T_0}{4}}$ يمرّ الجسم بمركز الاهتزاز بأعظم سرعة، و$\bar{v}=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ لأنّه يتحرّك بعكس جهة المحور.

تذكّر: «إنّ تابع التسارع هو المشتقّ الأوّل لتابع السرعة بالنسبة للزمن، وهو المشتقّ الثاني لتابع المطال بالنسبة للزمن.» الكتاب، الصفحة 10.

ويسأل الكتاب: «أَثابتةٌ قيمةُ التسارع أم متغيّرةٌ أثناء حركة الجسم؟»

انتبه: 🚨 التسارع في هذه الحركة غير ثابت: معدومٌ في مركز الاهتزاز، وأعظميٌّ في الموضعين الطرفيّين. لذلك لا يصحّ أن نحسب سرعة الجسم أو موضعه بعلاقاتٍ تفترض تسارعاً ثابتاً.

يرسم الكتاب منحنياً لكلّ تابع. ضعها الآن فوق بعضها: في كلّ لحظةٍ من اللحظات الخمس تقرأ المطال والسرعة والتسارع معاً، وترى الجسم على النابض في موضعه. المحور شاقوليٌّ موجّهٌ نحو الأسفل كما في الكتاب، فالسرعة السالبة صعود.

يدرس الكتاب الطاقة على نوّاسٍ مرنٍ أفقيّ: نثبّت طرف نابضٍ مرنٍ مهمل الكتلة إلى بداية ساقٍ أفقيّةٍ ملساء، ونثبّت إلى طرفه الآخر جسماً صلباً كتلته $m$. مبدأ الفواصل $O$ هو موضع مركز عطالة الجسم وهو ساكن. نزيح الجسم عن موضع توازنه ونتركه يهتزّ إلى جانبيه على قطعةٍ مستقيمة. والساق أفقيّة، فلا يتغيّر ارتفاع الجسم، ولا تدخل الطاقة الكامنة الثقاليّة في الحساب.

تذكّر: «إن الطاقة الميكانيكيّة للنوّاس المرن هي مجموع الطاقتين: الكامنة والحركيّة»: $E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}=E_p+E_k$. الكتاب، الصفحة 11.

إذا كان $\bar{x}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos {\omega }_{0}t$، كما في الشكل في الكتاب، صارت الطاقتان بدلالة الطاقة الكليّة:

ومربّع جيب التمام يتكرّر بعد نصف دور، لأنّ ${\cos }^2{\omega }_{0}t={\displaystyle \frac{1+\cos 2{\omega }_{0}t}{2}}$. فالطاقتان تتكرّران كلّ ${\displaystyle \frac{T_0}{2}}$، مرّتين في كلّ دور.

انتبه: 🚨 علامات الزمن على الشكل في الكتاب، الصفحة 11، مُزاحة: تحت أوّل انعدامٍ لـ $E_p$ كُتب ${\displaystyle \frac{T_0}{2}}$، وتحت القمّة التالية $T_0$. والصحيح ${\displaystyle \frac{T_0}{4}}$ و${\displaystyle \frac{T_0}{2}}$، كما في الشكل هنا: في ${\displaystyle \frac{T_0}{4}}$ يمرّ الجسم بمركز الاهتزاز، فتنعدم $E_p$.

ويسأل الكتاب في النشاط (6): أين تكون كلٌّ من الطاقتين الحركيّة والكامنة المرونيّة عظمى، وأين تكون معدومة؟

تذكّر: الطاقة الحركيّة عظمى في مركز الاهتزاز، ومعدومة في الموضعين الطرفيّين. والطاقة الكامنة المرونيّة في النوّاس الأفقيّ بالعكس: عظمى في الموضعين الطرفيّين، ومعدومة في مركز الاهتزاز.

وفي آخر الصفحة 12 يحلّ الكتاب تطبيقاً واحداً، وهو يجمع ما سبق: من التابع الزمنيّ نقرأ ثوابت الحركة، ثمّ الدور، ثمّ موضع الجسم في لحظة بدء الزمن.