السائل المثاليّ ومعادلة الاستمراريّة

يقارن الكتاب في النشاط الأوّل، الصفحة 40، بين الحالتين السائلة والصلبة: في الجسم الصلب جزيئاتٌ متراصّة، وفي السائل جزيئاتٌ أكثر تباعداً تتحرّك بحرّيّةٍ أكبر.

تذكّر: «تتميّزُ السوائل بقوى تماسك ضعيفة نسبيّاً بين جزيئاتها، فهي لا تحافظُ على شكلٍ معيّن، وتتحرّكُ جزيئاتُها بحيث تأخذُ شكل الوعاء الذي توضع فيه، وهي تستجيبُ بسهولة للقوى الخارجيّة التي تحاولُ تغييرَ شكلها.» الكتاب، الصفحة 40.

ولنصف حركة سائلٍ عند لحظةٍ ما يجب، كما في الكتاب، أن نعرف كثافته، أي كتلته الحجميّة، وضغطه وسرعته ودرجة حرارته. ولتسهيل الدراسة ندرس «جسيمَ السّائل»: جزءٌ من السائل أبعاده صغيرةٌ جدّاً بالنسبة لأبعاد السائل، وكبيرةٌ بالنسبة لأبعاد جزيئاته.

تذكّر: الجريان المستقرّ «هو الجريانُ الذي تكونُ فيه سرعةُ جسيمات السّائل ثابتةً مع مرور الزمن في النقطة نفسِها من خطّ الانسياب، فإذا تغيّرت السرعةُ من نقطة إلى أخرى بمرور الزمن كان الجريان المستقرّ غيرَ منتظم، أمّا إذا كانت السرعةُ ثابتةً في جميع نِقاطِ السّائل بمرور الزمن فإنّ الجريانَ المستقرَّ يكونُ منتظماً.» الكتاب، الصفحة 40.

بعبارةٍ أخرى: نثبّت نظرنا على نقطةٍ واحدة من مجرى السائل. إذا مرّت بها جسيمات السائل كلّها بالسرعة نفسها، لحظةً بعد لحظة، فالجريان مستقرّ. ثمّ نقارن بين النقاط: إن كانت السرعة واحدةً في جميع النقاط فالجريان المستقرّ منتظم، وإن اختلفت من نقطةٍ إلى أخرى فهو غير منتظم.

تذكّر: خطّ الانسياب، ويسمّيه الكتاب أيضاً خطّ الجريان: «خطٌّ وهميٌّ يبيّنُ المسارَ الذي يسلكُهُ جسيمُ السّائل في أثناء جريانه ويمسُّ في كلّ نقطة من نقاطه شعاعَ السرعة في تلك النقطة.» الكتاب، الصفحة 41.

ومن هذا التعريف نفسّر سؤالاً في آخر الدرس، الصفحة 48: لماذا لا تتقاطع خطوط الانسياب؟ والجواب من عندنا: لو تقاطع خطّان في نقطة لكان لهما فيها مماسّان، أي لكان لجسيم السائل الذي يمرّ بها شعاعا سرعةٍ في اتّجاهين مختلفين في اللحظة نفسها. وفي الجريان المستقرّ لكلّ نقطةٍ سرعةٌ واحدة ثابتة.

تذكّر: أنبوب التدفّق: «إذا أخذنا مساحةً صغيرةً عموديّة على اتّجاه جريان سائل جريانه مستقرّ، ورسمنا على محيط هذه المساحة خطوطَ الانسياب نحصلُ على أنبوبٍ وهميٍّ يحتوي السّائل يُدعى أنبوبَ التدفّق.» الكتاب، الصفحة 41.

ندرس في هذا الدرس والدرس الذي يليه سائلاً مثاليّاً، وهو نموذجٌ يبسّط السائل الحقيقيّ. يكتب الكتاب في الصفحة 41: «يتمتّع السّائل المثاليّ بالميزات الآتية»:

تذكّر: (1) غيرُ قابلٍ للانضغاط: «كتلته الحجمية ثابتة مع مرور الزمن». (2) عديمُ اللّزوجة: «قوى الاحتكاك الداخليّ بين مكوّناته مهملة عندما تتحرّك بالنسبة لبعضها بعضاً، وبالتالي لا يوجد ضياع للطاقة». (3) جريانُه مستقرّ: «أي أنّ حركة جسيماته لها خطوطُ انسياب محدّدة وسرعة جسيماته عند نقطة معيّنة تكونُ ثابتةً بمرور الزمن». (4) جريانُه غيرُ دورانيّ: «لا تتحرّك جسيماتُ السائل حركة دورانيّة حول أيّ نقطة في مجرى الجريان». الكتاب، الصفحة 41.

وفي امتحان 2025 سؤال اختيارٍ من متعدّد عن ميزات السائل المثاليّ، وفي امتحان 2026 في دمشق: «اذكر اثنتين فقط من خصائص السائل المثالي»، ثمّ استنتاج معادلة الاستمراريّة، وهو ما نصل إليه في آخر هذا الدرس.

في تجربة الكتاب، الصفحتان 41 و42، نملأ محقناً بلاستيكيّاً بالماء ونفرغه مرّتين، وندفع المكبس في المرّة الثانية بالقوّة السابقة نفسها: مرّةً والإبرة المعدنيّة مثبّتةٌ في طرفه، ومرّةً بعد نزعها.

تذكّر: «تزدادُ سرعةُ تدفّق السّائل في أنبوب بنقصان مساحة مقطع الأنبوب.» الكتاب، الصفحة 42.

تذكّر: معدّل التدفّق الكتليّ $Q$ لسائل «هو كتلةُ كميّة السّائل التي تعبُرُ مقطع الأنبوب في واحدة الزمن»: $Q={\displaystyle \frac{m}{\mathrm{\Delta }t}}$، ويقدّر في الجملة الدوليّة بـ $\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$. ومعدّل التدفّق الحجميّ $Q^{\mathrm{\prime }}$ لسائل «هو حجمُ كمية السّائل التي تعبُرُ مقطع الأنبوب في واحدة الزمن»: $Q^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{V}{\mathrm{\Delta }t}}$، ويقدّر بـ ${\mathrm{m}}^3\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$. الكتاب، الصفحة 42.

انتبه إلى الشرطة: $Q^{\mathrm{\prime }}$ للحجم و$Q$ للكتلة. ونربط بينهما بالكتلة الحجميّة $\rho$، فكتلة حجمٍ $V$ من السائل $m=\rho V$، ويكتبها الكتاب نفسه $m=\rho \mathrm{\Delta }V$ في الصفحة 45. أمّا العلاقة التالية فإضافةٌ منّا، لا يكتبها الكتاب في هذا الدرس:

انتبه: 🚨 خطآن شائعان. الأوّل أن تحسب $Q^{\mathrm{\prime }}$ وقد طُلب $Q$، أو العكس، فانظر إلى الواحدة: $\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ أو ${\mathrm{m}}^3\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$. والثاني أن تعوّض قبل تحويل الواحدات: $1\mathrm{L}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}{\mathrm{m}}^3$ و$1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$. ومسائل الكتاب في الصفحتين 48 و49 تعطي المقاطع بـ $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ وبعض الحجوم بـ $\mathrm{L}$. وفي الملحوظات العامّة لسلّم تصحيح 2023: «الغلط في التحويل يخسر درجة الجواب».

وطُلبت علاقة معدّل التدفّق الكتليّ في الدورة الثانية 2022 وفي امتحان 2026 في دمشق، وعلاقة معدّل التدفّق الحجميّ في الدورة الأولى 2019. وتسمّي أوراق الامتحان $Q^{\mathrm{\prime }}$ أيضاً «معدّل الضخ»، وكذلك يسمّيه الكتاب في مسائله، الصفحة 49.

لماذا يجري الماء في الطرف الضيّق أسرع منه في جسم المحقن؟ يجيب الكتاب في الصفحتين 42 و43 باستنتاجٍ رياضيّ. سائلٌ يتحرّك داخل أنبوبٍ مساحة مقطعيه $s_1$ و$s_2$، والفرض أنّ كميّة السائل التي تدخل الأنبوب عند المقطع $s_1$ في مدّةٍ زمنيّة معيّنة تساوي كميّة السائل التي تخرج من المقطع $s_2$ في المدّة نفسها، «(السّائل لا يتجمّع داخل الأنبوب ويملؤه تماماً، وجريانه مستمرّ)».

وطُلب هذا الاستنتاج انطلاقاً من $Q_1^{\mathrm{\prime }}=Q_2^{\mathrm{\prime }}$ في الدورة الثانية 2022 وفي امتحان 2026 في دمشق. وسلّم تصحيح 2026 يكتب المسافة $\mathrm{\Delta }x$ مكان $x$: ${\displaystyle \frac{s_1\mathrm{\Delta }{x}_1}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{s_2\mathrm{\Delta }{x}_2}{\mathrm{\Delta }t}}$، ثمّ $s_1{v}_1=s_2{v}_2$، لأنّ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}}$ هي السرعة. ويعطي سلّم 2022 علامةً على الجملة الأخيرة أيضاً، أنّ السرعة تتناسب عكساً مع مساحة المقطع، فلا تقف عند المعادلة.

انتبه: 🚨 إذا صار المقطع ربع ما كان عليه ومعدّل التدفّق الحجميّ لم يتغيّر، صارت السرعة أربعة أضعاف، لا ضعفين ولا ستّة عشر ضعفاً: $v_2={\displaystyle \frac{s_1}{s_2}}{v}_1$، والنسبة بين المقطعين تدخل كما هي، دون تربيع.

لا يحلّ الكتاب في هذا الدرس مثالاً رقميّاً، فهذا مثالٌ من عندنا على مسألة ملء خزّانٍ بخرطوم. وقد جاءت بهذا البناء في امتحانَي الدورة الأولى 2016 و2022: معدّل التدفّق الحجميّ، ثمّ سرعة خروج الماء، ثمّ السرعة بعد تضييق الفتحة. ونكتب في كلّ خطوةٍ العلاقة ثمّ التعويض ثمّ النتيجة مع واحدتها، فعلى هذا تبني سلالم التصحيح علاماتها.

وتطلب الامتحانات أيضاً تفسيراً بالعلاقات، لا حساباً فقط، كما في الدورة الأولى 2019: