المسألة الرابعة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتجِ التابعَ الزمنيَّ لمطال حركة الكرة انطلاقاً من شكله العامّ.

   العلاقة

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال:

   $$\bar{x}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   التعويض

   السعة $X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{m}$، والنبض الخاصّ من الدور:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}={\displaystyle \frac{2\pi }{1}}=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويض

   في اللحظة $t=0$ تمرّ الكرة بالمطال ${\displaystyle \frac{X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{2}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{2}}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\end{array}$$

   العلاقة

   نختار الإشارة من جهة الحركة. تابع السرعة مشتقّ تابع المطال بالنسبة للزمن، والكرة تتحرّك عند $t=0$ بالاتّجاه السالب، فسرعتها الجبريّة سالبة، وهذا يقتضي $\sin \bar{\phi }>0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{v}=(\bar{x}{)}_t^{\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })}\\ {\displaystyle {\bar{v}}_0=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin \bar{\phi }}\end{array}$$

   التعويض

   والإشارة الموجبة وحدها تحقّق ذلك:

   $$\bar{\phi }=+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   الجواب

   $$\bar{x}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\cos (2\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$

   حيث $\bar{x}$ بالمتر و$t$ بالثانية.

2. 2. عيّنْ لحظتَي المرور الأوّلِ والثالثِ للكرة في موضع التوازن.

   العلاقة

   تمرّ الكرة بموضع التوازن حين ينعدم مطالها، مع $n=0,1,2,\dots$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \cos (2\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=0}\\ {\displaystyle 2\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+n\pi }\\ {\displaystyle t={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}+{\displaystyle \frac{n}{2}}}\end{array}$$

   الجواب

   المرور الأوّل عند $n=0$، والمرور الثالث عند $n=2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle t_1={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}\mathrm{s}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8<!--\; -->3}\mathrm{s}}\\ {\displaystyle t_3={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}+1={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3}}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}\mathrm{s}\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\mathrm{s}}\end{array}$$

3. 3. احسبْ شدّة قوّة الإرجاع في نقطة مطالُها $x=+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{m}$

   العلاقة

   قوّة الإرجاع تتناسب طرداً مع المطال وتعاكسه بالإشارة:

   $$\bar{F}=-k\bar{x}$$

   التعويض

   $$\bar{F}=-\mathrm{1<!--\; -->6}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}=-\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\mathrm{N}$$

   الجواب

   $$F=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\mathrm{N}$$

   الشدّة موجبة؛ والإشارة السالبة للقيمة الجبريّة تعني أنّ القوّة موجّهةٌ بالاتّجاه السالب، نحو مركز الاهتزاز.

4. 4. احسبْ كتلة الكرة.

   العلاقة

   من علاقة الدور الخاصّ للنوّاس المرن:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0^2=4{\pi }^2{\displaystyle \frac{m}{k}}}\\ {\displaystyle m={\displaystyle \frac{k{T}_0^2}{4{\pi }^2}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$m={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->6}\times 1^2}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}$$

   الجواب

   $$m=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{k}\mathrm{g}$$