نوّاس الفتل

يبدأ الكتاب بساعاتٍ تهتزّ فيها كتلةٌ دوراناً بين وضعين متناظرين، ثمّ يعطي أقرب مثالٍ على هذه الحركة: نعلّق ساقاً متجانسةً من منتصفها بسلك فتلٍ فولاذيٍّ شاقوليّ ثابت فتله $k$، فنحصل على نوّاس الفتل. وعنوان الدرس في الكتاب «نوّاس الفتلِ غيرُ المُتخامدِ»: سعة اهتزازه لا تتناقص مع الزمن، وعلى هذا الفرض يقوم الدرس كلّه.

وفي التجربة (1) من الصفحة 18 نُدير الساق عن وضع توازنها الأفقيّ بزاويةٍ $\theta$ ونتركها دون سرعةٍ ابتدائيّة، فتأخذ تهتزّ حول السلك.

تذكّر: «إنّ الساقَ المعلّقةَ بسلكِ الفتلِ تهتزُّ في مستوٍ أفقيٍّ حولَ سلكِ الفتلِ الشاقوليّ بتأثير عزمِ مزدوجةِ الفتلِ.» الكتاب، الصفحة 18.

تؤثّر في الساق قوّتان خارجيّتان: ثقلها $\vec{w}$ وقوّة توتّر السلك $\vec{T}$. حامل كلٍّ منهما منطبقٌ على محور الدوران $\mathrm{\Delta }$، أي على السلك، فعزم كلٍّ منهما حول هذا المحور معدوم.

وحين نُدير الساق بزاويةٍ $\bar{\theta }$ تنشأ في السلك مزدوجةُ فتلٍ $\vec{\eta }$ تقاوم الفتل وتعمل على إعادة الساق إلى وضع توازنها. عزمها عزمُ إرجاع:

تابع الساق في ثلاث لحظاتٍ من حركتها، من الأعلى:

انتبه: 🚨 لا تنسَ الإشارة السالبة في $\bar{\mathrm{\Gamma }}=-k\bar{\theta }$. بدونها يدير العزم الساق بعيداً عن وضع توازنها، وسلالم التصحيح تحاسب على إغفالها.

لنعرف نوع الحركة نطبّق على الساق العلاقة الأساسيّة في التحريك الدورانيّ، كما في الكتاب، الصفحتان 18 و19. وإثبات أنّ الحركة جيبيّةٌ انطلاقاً من المعادلة التفاضليّة سؤالٌ يتكرّر في امتحان البكالوريا.

والثلاثة الأخيرة ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ و${\omega }_0$ و$\bar{\phi }$ ثابتةٌ في أثناء الحركة، فهي ثوابت الحركة، كما سمّى الكتاب نظائرها في الدرس الأوّل، الصفحة 8. أمّا $\bar{\theta }$ فيتغيّر مع الزمن.

انتبه: 🚨 لا تخلط بين النبض الخاصّ ${\omega }_0$ والسرعة الزاويّة $\bar{\omega }$. الأوّل ثابتٌ من ثوابت الحركة، والثانية تتغيّر مع الزمن، وأعظم طويلةٍ لها لحظة المرور بوضع التوازن: ${\omega }_0{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$.

هذه الفقرة إضافةٌ منّا، فليست في هذا الدرس من الكتاب: الدرس يستعمل عزم العطالة $I_{\mathrm{\Delta }}$ دون أن يقول كيف نحسبه، ومسائله في الصفحتين 23 و24 تحتاجه لكتلٍ نقطيّةٍ مثبّتةٍ على الساق. أمّا عزم عطالة كتلةٍ نقطيّةٍ واحدة فيأتي في الكتاب لاحقاً، في درس النوّاس الثقليّ، الصفحة 29.

كتلةٌ نقطيّةٌ $m$ على بعد $r$ من محور الدوران عزم عطالتها حوله $m{r}^2$. وعزم عطالة جملةٍ حول محورٍ هو مجموع عزوم عطالة أجزائها حول المحور نفسه:

أمّا عزم عطالة الساق نفسها أو القرص فتعطيه المسألة. فإذا ثبّتنا كتلتين متساويتين $m$ في طرفي ساقٍ طولها $l$ وعزم عطالتها $I$، فكلٌّ منهما على بعد ${\displaystyle \frac{l}{2}}$ من السلك، وعزم عطالة الجملة:

انتبه: 🚨 خطآن شائعان: أن نأخذ طول الساق كلّه بُعداً للكتلة، والبعد نصفه ${\displaystyle \frac{l}{2}}$؛ وأن ننسى عزم عطالة الساق نفسها حين تُعطى، فعزم عطالة الجملة هو المجموع $I^{\mathrm{\prime }}=I+2m{\left({\displaystyle \frac{l}{2}}\right)}^2$.

من النبض نصل إلى الدور، كما في الكتاب، الصفحة 20:

ويصل الكتاب إلى ما يتعلّق به الدور بثلاث تجارب، الصفحتان 19 و20: يغيّر السعة الزاويّة وحدها فلا يتغيّر الدور، ثمّ يثبّت على الساق كتلتين نقطيّتين متساويتين على بعدين متساويين من السلك فيزداد الدور، ثمّ يجعل طول السلك نصف ما كان عليه فينقص الدور.

تذكّر: «لا تتغيّرُ قيمةُ الدّورِ الخاصِّ لنوّاس الفتل بتغيّرِ السعةِ الزاويّة للحركة.» الكتاب، الصفحة 19.

ومن العلاقة يستنتج الكتاب في الصفحة 21 أنّ الدور الخاصّ يتناسب طرداً مع الجذر التربيعيّ لعزم عطالة جملة النوّاس حول محور الدوران، ويتناسب عكساً مع الجذر التربيعيّ لثابت فتل السلك.

وبهذه العلاقة نفهم التجربة (3): من سلكين من المادّة نفسها وبالقطر نفسه، الأطول ثابت فتله أصغر، ونصف الطول يعني ضعف ثابت الفتل، فيقلّ الدور. ومثالٌ من عندنا يحسب ذلك:

وفي المحاكاة أدناه ساق المسألة الثالثة من الكتاب، الصفحة 24: طولها $\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ وعزم عطالتها $2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2$، ومعها مقادير التجارب الثلاث: السعة الزاويّة، والكتلتان على الساق، وطول السلك.

انتبه: 🚨 لا تقلب العلاقة: من سلكين من المادّة نفسها وبالقطر نفسه، الأطول ثابت فتله أصغر، ومع الساق نفسها يكون الدور به أكبر. والسعة الزاويّة لا تغيّر دور نوّاس الفتل.

يقابل الكتاب في الصفحة 21 بين النوّاس المرن ونوّاس الفتل: لكلّ مقدارٍ في الحركة الجيبيّة الانسحابيّة نظيرٌ في الحركة الجيبيّة الدورانيّة.

انتبه: 🚨 الساق تدور، فطاقتها الحركيّة ${\displaystyle \frac{1}{2}}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$ لا ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$. وثابت الفتل غير ثابت الصلابة وإن حملا الحرف نفسه: الأوّل يجيب بعزمٍ على زاويةٍ وواحدته $\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}^{-1}$، والثاني يجيب بقوّةٍ على استطالةٍ وواحدته $\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$.

ولا يحلّ الكتاب في هذا الدرس مثالاً واحداً، فهذا مثالٌ من عندنا يجمع الدرس كلّه، بالقيمة التقريبيّة نفسها التي تستعملها مسائل الكتاب والامتحانات: ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$.