الطاقة والكتلة في الميكانيك النسبيّ

تذكّر: «إنّ الطاقةَ الكليّةَ في الميكانيك النسبيّ هي مجموعُ الطاقة السكونيّة والطاقة الحركيّة.» الكتاب، الصفحة 56.

الطاقة السكونيّة $E_0$ يملكها الجسم لأنّ له كتلةً عند السكون $m_0$، والطاقة الحركيّة $E_k$ هي الباقي من الطاقة الكليّة. ويكتب الكتاب الطاقة الكليّة $E=m{c}^2$ قبل أن يعرّف $m$ بسطور: $m$ الكتلة عند الحركة، ونراها في الفقرة التالية.

فالجسم الساكن طاقته الحركيّة معدومة، أمّا طاقته الكليّة فليست معدومة: $E=E_0=m_0{c}^2$. وبهذا جاء سؤال اختيارٍ من متعدّد في امتحان 2020، النظام الحديث: جسمٌ ساكنٌ عند مستوٍ مرجعيّ، فطاقته الكليّة النسبيّة $E=E_0$.

انتبه: 🚨 في الملخّص آخر الدرس، الصفحة 60، طُبع بجانب الطاقة الكليّة $E_k=m{c}^2$، والصحيح $E=m{c}^2$ كما في الصفحة 56. فـ $m{c}^2$ هي الطاقة الكليّة، والطاقة الحركيّة $E_k=E-E_0$.

الكتلة في الميكانيك الكلاسيكيّ ثابتة عند السرعات الصغيرة أمام سرعة انتشار الضوء في الخلاء. أمّا في الميكانيك النسبيّ فتزداد بزيادة السرعة، كما في الكتاب، الصفحة 56:

«حيثُ: $m$ الكتلةُ عند الحركة، $m_0$ الكتلةُ عند السكون.» وتُسمّى $m_0$ أيضاً الكتلة السكونيّة، كما في المسألة الثالثة في الصفحة 62 وفي أسئلة الامتحان. و$\gamma$ معامل لورينتس من الدرس السابق، وهو أكبر من الواحد ما دامت $v$ غير معدومة، فالكتلة عند الحركة أكبر من الكتلة عند السكون.

وجاءت هذه العلاقات في أوراق الامتحان أسئلةَ اختيارٍ من متعدّد: في الدورة الأولى 2023 سرعة جسيمٍ $v={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}c$ والمطلوب كتلته عند الحركة، وفي 2025 و2026 العكس، الكتلة عند الحركة $2m_0$ ثمّ $3m_0$ والمطلوب السرعة. وفي الدورة الثانية 2023 $E_k=2E_0$ والمطلوب $\gamma$، وفي الدورة الأولى 2024 علاقة $E_k=(\gamma -1)E_0$ نفسها.

انتبه: 🚨 لا تخلط بين $m{c}^2$ و$E_k$: $m{c}^2$ هي الطاقة الكليّة. فإذا كانت $E_k=2E_0$ كانت $E=3E_0$ و$\gamma =3$، لا $\gamma =2$.

ويكتب الكتاب كتلة الإلكترون في المعطيات $m_e$ وفي الحلّ $m_0$، وهما هنا الكتلة نفسها، كتلته عند السكون. ولم نجد حساب زيادة الكتلة مطلوباً في أوراق الامتحان التي قرأناها من 2016 إلى 2026.

يسأل الكتاب في الصفحة 57 عن مكّوك الفضاء وسرعته نحو $\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->8<!--\; -->7<!--\; -->0}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{h}}^{-1}$: هل تُعدّ قريبةً من سرعة الضوء في الخلاء، وهل يفيد تطبيق القوانين النسبيّة على حركته؟ نحوّل: $v\approx \mathrm{7<!--\; -->7<!--\; -->4<!--\; -->2}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، أي ${\displaystyle \frac{v}{c}}\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}$، فيكون $\gamma -1\approx \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->0}}$، فرقٌ لا أثر له في حركة المكّوك.

تذكّر: «إنّ أثرَ النظريّة النسبيّة الخاصّة يُهملُ من أجل السّرعات الصغيرة بالنسبة إلى سرعة انتشارِ الضوءِ في الخلاء، وتؤوّل عندها العلاقاتُ الفيزيائيّةُ إلى شكلها الكلاسيكيّ.» الكتاب، الصفحة 57.

ولم نجد هذا التقريب مطلوباً في أوراق الامتحان التي قرأناها من 2016 إلى 2026، فهو لفهم الصلة بين الميكانيكين.

هذه الفقرة من عندنا: علاقة كميّة الحركة النسبيّة غير مطبوعةٍ في الدرس، الصفحات 50 إلى 62، لكنّ ثلاثة مواضع فيه تحتاجها: «سؤال» في الصفحة 58، و«المسألة الثانية» و«تفكير ناقد» في الصفحة 62.

في الميكانيك الكلاسيكيّ كميّة الحركة $p=m_{0}v$. وفي الميكانيك النسبيّ نضرب السرعة في الكتلة عند الحركة:

وبهذا نجيب عن «سؤال» الكتاب في الصفحة 58: إذا كانت $v\ll c$ كان $\gamma \approx 1$، فتؤول $p$ إلى شكلها الكلاسيكيّ $m_{0}v$. أمّا قرب $c$ فالفرق كبير: في «المسألة الثانية» في الصفحة 62 سرعة الإلكترون ${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}c$، فـ $\gamma =3$، وكميّة حركته النسبيّة ثلاثة أمثال الكلاسيكيّة. ولم نجد كميّة الحركة النسبيّة مطلوبةً في أوراق الامتحان التي قرأناها من 2016 إلى 2026.