المسألة الثالثة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتجْ علاقة الاستطالة السكونيّة لهذا النابض، ثمّ احسبْ قيمتها.

   العلاقة

   قبل الاهتزاز يكون الجسم ساكناً في موضع التوازن، وتؤثّر فيه قوّتان: ثقله $\vec{w}$ وقوّة توتّر النابض $\overrightarrow{F_{s_0}}$، ومحصّلتهما معدومة. وبالإسقاط على محورٍ شاقوليٍّ موجّهٍ نحو الأسفل، مع $w=mg$ و$F_{s_0}=k{x}_0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle w-F_{s_0}=0}\\ {\displaystyle mg-k{x}_0=0}\\ {\displaystyle x_0={\displaystyle \frac{mg}{k}}}\end{array}$$

   العلاقة

   نحتاج ثابت الصلابة: الجسم ينجز $\mathrm{1<!--\; -->0}$ هزّاتٍ في $\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{s}$، فدوره الخاصّ $T_0={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}=1\mathrm{s}$، ومن علاقة الدور:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0^2=4{\pi }^2{\displaystyle \frac{m}{k}}}\\ {\displaystyle k={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}m}{T_0^2}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle k={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}\times 1}{1^2}}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}}\\ {\displaystyle x_0={\displaystyle \frac{1\times \mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$x_0=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{c}\mathrm{m}$$

   وبالرموز وحدها: $x_0={\displaystyle \frac{mg}{k}}={\displaystyle \frac{g{T}_0^2}{4{\pi }^2}}$، فلا تلزم الكتلة.

2. 2. احسبْ قيمةَ السرعة العظمى (طويلة).

   العلاقة

   طويلة السرعة العظمى في الحركة الجيبيّة الانسحابيّة:

   $$v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$$

   التعويض

   الجسم يرسم قطعةً مستقيمةً طولها $\mathrm{1<!--\; -->6}\mathrm{c}\mathrm{m}$ بين مطاليه الأعظميّين، فالسعة نصفها، والنبض من الدور:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->6}}{2}}=8\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\mathrm{m}}\\ {\displaystyle {\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   التعويض

   $$v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=2\pi \times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}$$

   الجواب

   $$v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\pi \mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

3. 3. احسبْ قيمةَ التسارع في مطال $x=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.

   العلاقة

   تابع التسارع في الحركة الجيبيّة الانسحابيّة:

   $$\bar{a}=-{\omega }_0^2\bar{x}$$

   التعويض

   مع ${\omega }_0^2=4{\pi }^2=\mathrm{4<!--\; -->0}$ و$\bar{x}=6\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}\mathrm{m}$:

   $$\bar{a}=-\mathrm{4<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}$$

   الجواب

   $$\bar{a}=-\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$$

   سالبٌ، بعكس إشارة المطال: التسارع موجّهٌ نحو مركز الاهتزاز.

4. 4. احسبِ الطاقةَ الكامنةَ المرونيّة في موضع مطاله $x=-4\mathrm{c}\mathrm{m}$، واحسب الطاقة الحركيّة عندئذٍ.

   العلاقة

   الطاقة الكامنة المرونيّة كما في «تعلّمت»، الصفحة 12، والمطال $x$ مقيسٌ من موضع التوازن:

   $$E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2$$

   التعويض

   مع $k=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$ و$\bar{x}=-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}\mathrm{m}$:

   $$E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{4<!--\; -->0}\times (-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}{)}^2$$

   الجواب

   $$E_p=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->2}\mathrm{J}$$

   العلاقة

   الطاقة الميكانيكيّة ثابتة، ونحسبها في وضع المطال الأعظميّ حيث الطاقة الحركيّة معدومة؛ والطاقة الحركيّة هي الباقي:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}={\displaystyle \frac{1}{2}}k{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}\\ {\displaystyle E_k=E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}-E_p}\end{array}$$

   التعويض

   $$E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{4<!--\; -->0}\times (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}{)}^2=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->8}\mathrm{J}$$

   الجواب

   $$E_k=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->8}-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->2}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->6}\mathrm{J}$$