المسألة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتجْ قيمةَ ثابت صلابة النابض $k$.

   العلاقة

   في المطال الأعظميّ تنعدم السرعة، فالطاقة الميكانيكيّة كلّها كامنة:

   $$E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}={\displaystyle \frac{1}{2}}k{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2$$

   التعويض

   من الرسم البيانيّ: المنحني يبلغ المستقيم الأفقيّ عند المطالين الأعظميّين $\pm \mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$، فالسعة $X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{m}$، والطاقة الميكانيكيّة $E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}\mathrm{J}$:

   $$k={\displaystyle \frac{2E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}}{X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}}={\displaystyle \frac{2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}}{(\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}{)}^2}}$$

   الجواب

   $$k=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$$

2. 2. احسبْ الدورَ الخاصّ للحركة.

   العلاقة

   الدور الخاصّ للنوّاس المرن:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{m}{k}}}$$

   التعويض

   مع $m=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{k}\mathrm{g}$ و$k=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}=2\pi \times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}$$

   الجواب

   $$T_0=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\pi \mathrm{s}\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->6}\mathrm{s}$$

3. 3. احسبْ قيمةَ السرعة عند المرور في مركز الاهتزاز.

   العلاقة

   في مركز الاهتزاز $\bar{x}=0$، فالطاقة الكامنة معدومة، والطاقة الميكانيكيّة كلّها حركيّة:

   $${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2=E_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}$$

   التعويض

   $$v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2={\displaystyle \frac{2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}$$

   الجواب

   $$v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   وهي طويلة السرعة، فالنصّ لا يحدّد جهة المرور. وللتحقّق: ${\omega }_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}}}=5\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، و${\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=5\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.