النوّاس الثقليّ المركّب

يبدأ الكتاب بالأرجوحة: نزيحها عن موضع توازنها فتهتزّ، ثمّ تتخامد حركتها وتقف حتّى ندفعها من جديد. وكذلك رقّاص الساعة الجداريّة يحتاج إلى تعويض الطاقة المبدّدة كي يبقى يهتزّ. وفي عنوان الدرس في الكتاب «النوّاس الثقليّ غيرُ المتخَامدِ»: نهمل كلّ ما يبدّد الطاقة، فلا تتناقص السعة.

وفي النشاط (1)، الصفحة 26، نعلّق مسطرةً بحاملٍ مثبّتٍ على لوح، ومحور الدوران أفقيّ:

تذكّر: «إنّ كلَّ جسم صُلْبٍ يهتزّ بتأثير عزم قوّة ثقله حول محور دوران عموديّ على مستويه، ولا يمرُّ من مركز عطالته، يُسمّى: بالنوّاس الثقليّ.» الكتاب، الصفحة 26.

وفي «تعلّمت» يسمّيه الكتاب النوّاس الثقليّ المركّب، ويشترط أن يكون المحور أفقيّاً، الصفحة 34:

تذكّر: «النوّاسُ الثقليّ المركّب: كلُّ جسمِ صُلب يهتزّ بتأثير ثقله في مستوٍ شاقوليّ حول محور دوران أفقيّ لا يمرُّ من مركز عطالته، وعموديّ على مستويه.» الكتاب، الصفحة 34.

و«المركّب» يميّزه من النوّاس الثقليّ البسيط في الصفحة 29: ذاك نقطةٌ ماديّة، وهذا جسمٌ صلبٌ تتوزّع كتلته.

انتبه: 🚨 المحور الأفقيّ وحده لا يكفي: يجب ألّا يمرّ من مركز العطالة. فإن مرّ منه، كالمسطرة المعلّقة من منتصفها، لم يكن للثقل عزمٌ حوله، ولم يهتزّ الجسم.

يدرس الكتاب في الصفحة 27 جسماً صلباً كتلته $m$ ومركز عطالته $C$، يدور حول محورٍ أفقيّ $\mathrm{\Delta }$ يمرّ من النقطة $O$ منه، و$d=OC$. نزيحه عن موضع توازنه الشاقوليّ بزاوية $\theta$ ونتركه دون سرعةٍ ابتدائيّة. تؤثّر فيه قوّتان: ثقله $\vec{w}$، وقوّة ردّ فعل محور الدوران على الجسم $\vec{R}$.

تذكّر: «وهي معادلةٌ تفاضليّةٌ من المرتبة الثانية تحتوي $\sin \theta$ بدلاً من $\theta$ فحلُّها ليس جيبيّاً، ومن ذلك فإنّ حركة النوّاس الثقليّ هي حركةٌ اهتزازيّةٌ غيرُ توافقيّة.» الكتاب، الصفحة 27.

انتبه: 🚨 لا تنسَ الإشارة السالبة في عزم الثقل، فهو يعاكس الزاوية بالإشارة. وعزم $\vec{R}$ معدومٌ لأنّ حاملها يمرّ من المحور، لا لأنّها صغيرة: في موضع التوازن الساكن تعادل الثقل.

ويسأل الكتاب: كيف تصبح الحركة من أجل السعات الزاويّة الصغيرة $\theta \le \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$؟ عندئذٍ $\sin \theta \approx \theta$، والزاوية بالراديان. ويكتب الكتاب الحدّ بالدرجات أيضاً، ${\mathrm{1<!--\; -->4}}^{\circ }$، في الصفحتين 28 و31، و$\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ أقلّ منه بقليل. ولا يقول الكتاب من أين يأتي هذا الحدّ، فنتحقّق منه نحن: عند $\theta =\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ يكون $\sin \theta \approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->3<!--\; -->8}$، والفرق أقلّ من واحدٍ في المئة.

وهذا البرهان طُلب للنوّاس الثقليّ المركّب في امتحان الدورة الثانية 2019.

انتبه: 🚨 نعدّ الحركة جيبيّةً ودورها مستقلّاً عن السعة ما دامت ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\le \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$. أمّا بسعةٍ أكبر فالحركة اهتزازيّةٌ غيرُ توافقيّة، والدور أطول، كما في الصفحة 31 من الكتاب. والزاوية في هذا الشرط بالراديان، فحوّل الدرجات قبل أن تقارن.

ومن ${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}$ يستنتج الكتاب علاقة الدور الخاصّ، الصفحة 28:

و$m$ كتلة الجسم كلّه. ويحسب الكتاب $d$ بعلاقة التوازن الدورانيّ حول محورٍ يمرّ من $C$، أو بالعلاقة الآتية، إذ نعدّ الجسم أجزاءً نفترضها نقاطاً ماديّةً على مستقيمٍ واحدٍ يمرّ من محور الدوران، كأجزاء ساقٍ واحدة، كتلها $m_1$ و$m_2$ وغيرها، تبعد عن محور الدوران $r_1$ و$r_2$ وغيرها:

تذكّر: «$\bar{r}$ مقدارٌ جبريٌّ نعدُّهُ موجباً إذا كان مركزُ عطالة الكتلة المهتزّة تحت محور الدوران، وسالباً إذا كان مركزُ عطالة الكتلة المهتزّة فوق محور الدوران.» الكتاب، الصفحة 28.

انتبه: 🚨 في $mgd$ تدخل الكتلة الكليّة، و$d$ بعد مركز عطالة الجملة كلّها عن المحور، لا طول الساق ولا بعد إحدى الكتل عنه. وكتلةٌ فوق المحور تدخل بإشارةٍ سالبة.

وفي المحاكاة أدناه ساق التطبيق في الصفحة 28، طولها $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->7<!--\; -->5}\mathrm{m}$ ومعلّقةٌ من طرفها العلويّ، وكتلتها في المحاكاة $1\mathrm{k}\mathrm{g}$. ومعها طول الساق، وبعد المحور عن منتصفها، والسعة الزاويّة، وكتلةٌ نقطيّةٌ في طرفها السفليّ. والنوّاس البسيط المنقّط إلى جانبها نعود إليه في آخر الدرس.

يحلّ الكتاب في الصفحة 28 تطبيقاً واحداً، وفيه عزم عطالة الساق معطى حول محورٍ يمرّ من مركز عطالتها، والساق معلّقةٌ من طرفها، فينقله الكتاب إلى محور الدوران بنظرية هايغنز.

لاحظ أنّ نصّ التطبيق لا يذكر $g$ ولا ${\pi }^2$: الحلّ يعوّض $g=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$، ويصل إلى $1\mathrm{s}$ بأخذ ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$، وبالقيمة الدقيقة لـ $\pi$ يكون $T_0\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->9}\mathrm{s}$. وبهاتين القيمتين نحسب الأدوار في هذا الدرس، كما في مسائل النوّاس في الامتحانات.

أمّا الكتلة النقطيّة فلا تحتاج إلى نظرية هايغنز: عزم عطالتها حول محورٍ على بعد $r$ منها $m{r}^2$، كما يكتبه الكتاب لكرة النوّاس البسيط $I_{\mathrm{\Delta }}=m{l}^2$، الصفحة 29. وعزم عطالة جملةٍ مجموع عزوم عطالة أجزائها حول المحور نفسه؛ وهذه إضافةٌ منّا من درس نوّاس الفتل، فليست في هذا الدرس من الكتاب، ومسائله في الصفحتين 36 و37 تحتاجها.

انتبه: 🚨 خطآن شائعان: أن نضع في $M{d}^2$ بعداً غير بعد مركز عطالة الجسم عن المحور؛ وأن نكتب أحد الحدّين وحده، $I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}$ أو $M{d}^2$. أمّا الكتلة النقطيّة فعزم عطالتها $m{r}^2$ مباشرةً، ولا حاجة فيها إلى نظرية هايغنز.

هذه الفقرة إضافةٌ منّا، ليست في دروس الكتاب: لا يشرح الكتاب النوّاس البسيط المواقت في أيّ درس، لكنّه يطلب حساب طوله في «مسائل عامة» في آخره، الصفحة 258: «احسب طول النوّاس البسيط المواقت لهذا النوّاس.» وطلبته امتحانات البكالوريا في سبعٍ من تسع مسائل على النوّاس الثقليّ المركّب، في أوراق الامتحانات التي قرأناها منذ 2016.

النوّاس البسيط المواقت لنوّاسٍ ثقليٍّ مركّب هو النوّاس البسيط الذي يهتزّ بالدور الخاصّ نفسه، في السعات الصغيرة. وفي أوراق الامتحان يُسمّى أيضاً النوّاس الثقليّ البسيط المواقت.

وتمهّد لذلك «ملاحظة» الكتاب في الصفحة 29: النوّاس البسيط حالةٌ خاصّةٌ من النوّاس الثقليّ المركّب، كتلته $m$ كلّها على بعد $l$ من المحور، فنعوّض في العلاقة العامّة $d=l$ و$I_{\mathrm{\Delta }}=m{l}^2$، ونصل إلى الدور الذي يستنتجه الكتاب في الصفحة نفسها بدراسةٍ تحريكيّة:

ونعكس الآن الطريق: لنوّاسٍ مركّبٍ معلوم، ما طول النوّاس البسيط الذي يهتزّ بدوره نفسه؟

وفي سلالم تصحيح الامتحانات يُحسب الطول بالأرقام: الدور الخاصّ للنوّاس المركّب أوّلاً، ثمّ يُعوَّض في $T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l}{g}}}$ ويُستخرج $l$. والطريقان يعطيان الطول نفسه.

ولو نسينا إشارة الكتلة العلويّة لوجدنا $d=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->3}\mathrm{m}$ ودوراً قريباً من $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->7}\mathrm{s}$ بدل $\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{s}$. وفي المحاكاة في فقرة الدور الخاصّ يهتزّ إلى جانب الساق نوّاسٌ بسيطٌ منقّط طوله $l={\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{md}}$، في الطور نفسه، وتعرض المحاكاة طوله بعد تشغيل الحركة.