فرضيّتا أينشتاين وتمدّد الزمن وتقلّص الأطوال

يسأل الكتاب في الصفحة 51 سؤالين: شخصٌ متحرّكٌ يطلق سهماً بجهة حركته، فهل تختلف سرعة السهم بالنسبة إليه عنها بالنسبة لمراقبٍ ساكنٍ على الطريق؟ وشخصٌ متحرّكٌ يضيء مصباحاً بجهة حركته، فهل تكون سرعة الضوء بالنسبة إليه هي نفسها بالنسبة لمراقبٍ ساكن؟

تذكّر: «السرعةُ مفهومٌ نسبيٌ يختلفُ باختلاف جملة المقارنة.» و«سرعةُ انتشارِ الضوء ثابتةٌ في الوسط نفسِه مهما اختلفتْ سرعةُ المنبع الضوئيِّ، أو سرعةُ المراقب.» الكتاب، الصفحة 51. ونقتصر في هذا الدرس على انتشار الضوء في الخلاء، كما في الفرضيّة الأولى بعدها.

وحاول العالمان مايكلسون ومورلي، كما في الكتاب، إثبات وجود الأثير بمقارنة سرعة شعاعٍ ضوئيٍّ يُطلق بجهة حركة الأرض حول الشمس بسرعة شعاعٍ معامدٍ له، فوجدا السرعة نفسها في جميع الحالات. ومن هنا الفرضيّة الأولى: سرعة انتشار الضوء في الخلاء هي نفسها في جميع جمل المقارنة، «وهذه هي الفرضيّة الأولى لأينشتاين»:

تذكّر: «القوانينُ الفيزيائيّة تبقى نفسَها في جميع جمل المقارنة العطاليّة، وهي الفرضيّة الثانية لأينشتاين.» الكتاب، الصفحة 51. ويصل إليها الكتاب بسؤال: هل تختلف نتيجة تجربة النوّاس البسيط في مخبر المدرسة عنها في حافلةٍ تسير بحركةٍ مستقيمةٍ منتظمة؟

انتبه: 🚨 احفظ الترتيب كما في الكتاب، الصفحتان 51 و60: الفرضيّة الأولى ثبات سرعة انتشار الضوء في الخلاء، والثانية بقاء القوانين الفيزيائيّة نفسها في جميع جمل المقارنة العطاليّة.

وفي امتحان 2025 سؤال اختيارٍ من متعدّد عن ثبات سرعة انتشار الضوء مهما اختلفت سرعة المنبع الضوئيّ.

يتخيّل الكتاب في الصفحة 52 قطاراً يسير بسرعةٍ ثابتة $v$، وفي أرضه منبعٌ ضوئيّ، وفي سقفه مرآةٌ على بُعد $d$ منه. يرسل المنبع ومضةً تنعكس على المرآة وتعود. مراقبٌ في القطار يقيس زمن الذهاب والإياب $t_0$، ومراقبٌ ساكنٌ على الأرض يقيس للحدث نفسه الزمن $t$.

تذكّر: «يتمدّدُ (يتباطأ) الزمنُ عند الحركة نسبياً.» الكتاب، الصفحة 53.

$t_0$ يقيسه المراقب الذي ترافقه الساعة، و$t$ يقيسه كلّ مراقبٍ تتحرّك الساعة بالنسبة إليه. ولم نجد استنتاج هذه العلاقة مطلوباً في أوراق الامتحان التي قرأناها من 2016 إلى 2026، أمّا $t=\gamma t_0$ فجاءت في الدورة الأولى 2022 سؤالَ اختيارٍ من متعدّد.

انتبه: 🚨 لا تختر $t_0$ لأنّه الأصغر بين أرقام السؤال. $t_0$ زمن المراقب الذي ترافقه الساعة، ولو وضعتَ الزمنين في غير موضعهما لخرج $\gamma <1$، وهذا مستحيل.

وفي الصفحة 54 طُبع حلّ هذا التطبيق صورةً فيها الحرف $c$ مكان $\gamma$ في أربعة أسطر، مثل $t=c{t}_0$. والصحيح $t=\gamma t_0$، والنتيجة $\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}$ صحيحة.

انتبه: 🚨 المفارقة ليست متناظرة: رائد الفضاء وحده يتسارع ويعود، فيغيّر جملة المقارنة، ولذلك هو الأصغر سنّاً عند العودة. ونحسب من جملة الأرض، وهي غير متسارعة، لأنّ النسبيّة الخاصّة تُطبّق في حالة انعدام التسارع، كما يذكر الكتاب في «أبحث أكثر»، الصفحة 62.

ثمّ ينقل الكتاب النتيجة إلى طول المركبة نفسها في منحى سرعتها: $L_0$ طولها عند المراقب فيها، و$L$ طولها عند المراقب الأرضيّ. فانتبه: في المسافة كان $L_0$ عند الأرض، وفي طول المركبة صار $L_0$ عند المركبة. والقاعدة واحدة: $L_0$ هو الطول عند المراقب الساكن بالنسبة للشيء المقيس.

وفي الدورة الثانية 2022 سؤال اختيارٍ من متعدّد يعطي $L_0$ و$L$ ويطلب $\gamma$.

انتبه: 🚨 لا تضرب في $\gamma$: الطول المتحرّك أقصر، $L={\displaystyle \frac{L_0}{\gamma }}$. ولو ضربتَ لخرج أطول من الطول الساكن.

انتبه: 🚨 قرّب كما يقول السؤال، ولا تقرّب أكثر منه قبل النهاية. السؤال يعطي $\sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->3<!--\; -->7<!--\; -->5}}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->6}$، فيخرج $L\approx \mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->9}\mathrm{m}$. ولو قرّبتَ الجذر إلى $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7}$ لخرج $L=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}$، أطول من الحُجرة، ولو قرّبتَ $\gamma$ إلى $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}$ لخرج $L=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}$ تماماً، فلا يمكن الحكم. والقيمة الأدقّ $\sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->3<!--\; -->7<!--\; -->5}}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->6<!--\; -->1<!--\; -->4}$ تعطي $L\approx \mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->2}\mathrm{m}$.