المسألة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. أوجدْ قيمَ ثوابت الحركة ودورَها الخاصّ.

   العلاقة

   الشكل العامّ لتابع المطال في الحركة الجيبيّة الانسحابيّة:

   $$\bar{x}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   الجواب

   نقارن التابع المعطى بالشكل العامّ حدّاً بحدّ، فنجد السعة والنبض الخاصّ والطور الابتدائيّ:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{m}}\\ {\displaystyle {\omega }_0=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=\frac{\pi }{2}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\end{array}$$

   العلاقة

   الدور الخاصّ:

   $$T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$$

   التعويض

   $$T_0=\frac{2\pi }{\pi }$$

   الجواب

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

2. 2. احسبْ كتلة الجسم $m$.

   العلاقة

   النبض الخاصّ للنوّاس المرن:

   $${\omega }_0^2=\frac{k}{m}\Rightarrow m=\frac{k}{{\omega }_0^2}$$

   التعويض

   مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$m=\frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{{\pi }^2}=\frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}$$

   الجواب

   $$m=1\mathrm{k}\mathrm{g}$$

3. 3. احسب قيمةَ السّرعة في موضع مطالُه $x=6\mathrm{c}\mathrm{m}$، والجسمُ يتحرّكُ بالاتّجاه الموجبِ للمحور.

   العلاقة

   العلاقة التي يطلب الكتاب إثباتها في السؤال 1 من «ثانياً» على الصفحة نفسها، وأصلها أنّ الطاقة الميكانيكيّة ثابتة:

   $$v={\omega }_0\sqrt{X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2-x^2}$$

   التعويض

   مع $x=6\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}\mathrm{m}$:

   $$v=\pi \sqrt{(\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}{)}^2-(\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}{)}^2}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\pi$$

   الجواب

   هذه العلاقة تعطي طويلة السرعة، والجسم يتحرّك بالاتّجاه الموجب، فالقيمة الجبريّة للسرعة موجبة:

   $$\bar{v}=+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\pi \mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

4. 4. حدّد موضع الجسم وجهة حركته لحظة بدء الزّمن.

   التعويض

   نعوّض $t=0$ في تابع المطال:

   $$t=0\Rightarrow \bar{x}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\cos \frac{\pi }{2}=0$$

   الجواب

   الجسم في مركز الاهتزاز لحظة بدء الزمن.

   العلاقة

   تابع السرعة هو المشتقّ الأوّل لتابع المطال بالنسبة للزمن:

   $$\bar{v}=(\bar{x}{)}_t^{\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   التعويض

   نعوّض الثوابت التي وجدناها، ثمّ $t=0$:

   $${\bar{v}}_0=-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\pi \sin \frac{\pi }{2}=-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\pi \mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   الجواب

   القيمة الجبريّة للسرعة سالبة: يمرّ الجسم بمركز الاهتزاز متحرّكاً بالاتّجاه السالب للمحور، وطويلة سرعته أعظميّة $v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\pi \mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$. فإذا كان المحور موجّهاً نحو الأسفل كما في الكتاب، فالجسم يصعد لحظة بدء الزمن.