الطاقة في النوّاس: السرعة وتوتّر الخيط

نزيح كرة النوّاس البسيط عن موضع توازنها الشاقوليّ بزاويةٍ ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ ونتركها دون سرعةٍ ابتدائيّة. ما سرعتها حين يصنع الخيط مع الشاقول زاويةً أصغر $\theta$؟ يقارن الكتاب في الصفحة 32 بين وضعين: الوضع (1) لحظة الترك، والخيط يصنع مع الشاقول الزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، والوضع (2)، والخيط يصنع الزاوية $\theta$. والقوّتان الخارجيّتان المؤثّرتان في الكرة ثقلها $\vec{w}$ وتوتّر الخيط $\vec{T}$.

نعدّ الخيط مهمل الكتلة لا يمتطّ، ونهمل مقاومة الهواء. وانتبه إلى الرموز: يكتب الكتاب في هذه الصفحة الثقل $\vec{W}$ بحرفٍ كبير، فيصير عمل الثقل عنده ${\bar{W}}_{\vec{W}}$، حرفٌ واحدٌ لشيئين. نكتب الثقل هنا $\vec{w}$ بحرفٍ صغير، فيبقى $W$ الكبير للعمل: ${\bar{W}}_{\vec{w}}$ عمل الثقل، وهو طاقةٌ تقدّر بـ $\mathrm{J}$، أمّا الثقل $w=mg$ فقوّةٌ تقدّر بـ $\mathrm{N}$.

وفي أوراق امتحانات البكالوريا التي قرأناها منذ 2016 جاء هذا السؤال عند المرور بالشاقول، أي في الحالة الخاصّة. والعلاقة في وضعٍ ما هي طريق الكتاب إليها.

انتبه: 🚨 خطآن يكلّفان درجات. الأوّل أن تأخذ الارتفاع $l\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، وهو بُعد الكرة تحت محور التعليق، والصحيح عند الشاقول $h=l(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$. وفي الزاوية ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$ يعطي هذا الخطأ العدد الصحيح مصادفةً، فلا تكشفه إلّا الرموز. والثاني أن تبدأ من العلاقة النهائيّة: في سلّم تصحيح امتحان 2020، النظام الحديث، يخسر عشر درجاتٍ من ينطلق مباشرةً من $v^2=2gl(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$.

لنجد شدّة توتّر الخيط في الوضع (2) نطبّق على الكرة العلاقة الأساسيّة في التحريك، كما في الكتاب: $\sum \vec{F}=m\vec{a}$، أي $\vec{w}+\vec{T}=m\vec{a}$. ثمّ نُسقطها «على محور ينطبق على حامل $\vec{T}$ وبجهته (الناظم)»، أي من الكرة نحو محور التعليق.

والكرة تتحرّك على قوسٍ من دائرةٍ نصف قطرها $l$، فلتسارعها مسقطٌ على الناظم نحو مركز الدائرة، يسمّيه الكتاب التسارع الناظميّ: $a_c={\displaystyle \frac{v^2}{l}}$. وهو معدومٌ لحظة الترك لأنّ $v=0$، وأكبر ما يكون عند الشاقول حيث السرعة أعظميّة.

انتبه: 🚨 لا تكتب $T=mg$ عند الشاقول. هذا توتّر الخيط والكرة ساكنةٌ في موضع توازنها. وهي تمرّ به متحرّكةً يحمل الخيط ثقلها ويعطيها فوق ذلك تسارعها الناظميّ، فـ $T-mg=m{\displaystyle \frac{v^2}{l}}$، فعند الشاقول $T>mg$ ما دامت الكرة تمرّ به بسرعةٍ غير معدومة.

وطُلبت شدّة توتّر الخيط عند المرور بالشاقول في امتحانَي 2020 و2024، وفي سؤال اختيارٍ من متعدّد في 2025.

تذكّر: «إنّ الطاقة الميكانيكيّة للنوّاس الثقليّ البسيط ثابتةٌ بإهمال القوى المبدّدة للطاقة، إذْ يهتزُّ بسعة زاويّة ثابتة ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ إلى جانبَي موضع توازنه الشاقوليّ.» الكتاب، الصفحة 33.

تذكّر: «إنَّ الطاقة الميكانيكيّة هي مجموع الطاقتين الكامنة الثقاليّة، والحركيّة $E=E_k+E_p$.» ومبدأ قياس الطاقة الكامنة الثقاليّة عند الكتاب «هو المستوي الأفقيُّ المارُّ من مركز عطالة الكرة عند مرور النوّاس في وضع توازنه الشاقوليّ». الكتاب، الصفحة 33.

وهذا ما رأيناه في الفقرة الأولى: عمل توتّر الخيط معدوم، وعمل الثقل $mgh$ هو ما تخسره الطاقة الكامنة الثقاليّة حين تنزل الكرة ارتفاعاً $h$، فتكسبه الطاقة الحركيّة، ويبقى المجموع ثابتاً.

ولا يكتب الكتاب في هذه الفقرة علاقةً للطاقة الكامنة الثقاليّة، فالعلاقة التالية استنتاجٌ منّا، من الشكل كما استنتج الكتاب $h$: حين يصنع الخيط الزاوية $\theta$ تكون الكرة أعلى من مبدأ القياس بـ $l(1-\cos \theta )$، فطاقتها الكامنة الثقاليّة:

لحظة الترك الطاقة كلّها كامنة، $E=mgl(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$، وعند الشاقول كلّها حركيّة، $E={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$. وبمساواة الاثنتين نجد سرعة الشاقول نفسها التي أعطتها نظريّة الطاقة الحركيّة.

وفي المحاكاة أدناه نوّاسٌ بسيطٌ طول خيطه $1\mathrm{m}$ يُترك من ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$، ومعه الطاقتان ومجموعهما، وسرعة الكرة وتوتّر الخيط عند المرور بالشاقول.

هذه الفقرة إضافةٌ منّا، ولها حدود: نصّ الكتاب في هذا الدرس يطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة على النوّاس البسيط وحده، في الصفحة 32، ولا يشرحها للنوّاس الثقليّ المركّب. أمّا الطاقة الحركيّة لجسمٍ يدور، $E_k={\displaystyle \frac{1}{2}}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$، فيكتبها الكتاب لنوّاس الفتل في جدول التشابه، الصفحة 21، بالحرف $w$ مكان $\omega$. والمسألتان الأولى والرابعة من مسائل هذا الدرس، في الصفحتين 36 و37، تطلبان هذا الحساب على النوّاس الثقليّ المركّب.

في النوّاس الثقليّ المركّب يدور جسمٌ صلبٌ حول محورٍ أفقيّ $\mathrm{\Delta }$ يمرّ من النقطة $O$، ومركز عطالته $C$ على بُعد $d=OC$ منه. وتؤثّر فيه قوّتان، كما في الكتاب، الصفحة 27: ثقله $\vec{w}$ في مركز عطالته $C$، و«قوّة ردّ فعل محور الدوران على الجسم» $\vec{R}$. ونهمل الاحتكاك في المحور ومقاومة الهواء.

انتبه: 🚨 الجسم الصلب يدور، فطاقته الحركيّة ${\displaystyle \frac{1}{2}}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$ لا ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$: نقاطه تتحرّك بسرعاتٍ مختلفة. سلّم تصحيح الدورة الأولى 2019 لا يقبل ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$ هنا، وفي الدورة الثانية 2016 كلّف هذا الخطأ أربع عشرة درجة. ولا خيط هنا: القوّة في المحور $\vec{R}$، وكتابة ${\bar{W}}_{\vec{T}}$ مكان ${\bar{W}}_{\vec{R}}$ تُخسر درجةً أو درجتين.

ومن مسائل الامتحان الإحدى عشرة التي ذكرناها في البداية تسعٌ على النوّاس الثقليّ المركّب، وفي جميعها كانت الزاوية ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$، معطاةً أو مطلوبة. وكثيراً ما يُطلب بعدها $v=\omega r$ لكتلةٍ نقطيّةٍ على الجسم.

مثالٌ من عندنا يجمع ما سبق، بالقيمتين اللتين تستعملهما مسائل الامتحان: ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ و$g=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$. ونحسب عزم عطالة الساق حول طرفها كما حسبه الكتاب في التطبيق، الصفحة 28.

انتبه: 🚨 في هذا المثال خرجت السرعة الزاويّة عند الشاقول مساويةً للنبض الخاصّ، ${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، وهذه مصادفةٌ تخصّ الزاوية ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$. وهما مقداران مختلفان: ${\omega }_0$ ثابتٌ من ثوابت الحركة صغيرة السعة، و$\omega$ تتغيّر مع الزمن. فاحسب $\omega$ بنظريّة الطاقة الحركيّة، ولا تكتب $\omega ={\omega }_0$ مكانها.

خلاصة الدرس عند المرور بالشاقول: في النوّاس البسيط نحسب السرعة بنظريّة الطاقة الحركيّة، ثمّ توتّر الخيط بالإسقاط على الناظم. وفي النوّاس الثقليّ المركّب نحسب السرعة الزاويّة بالنظريّة نفسها مع ${\displaystyle \frac{1}{2}}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$، ثمّ السرعة الخطيّة $v=\omega r$.

وفي «إثراء» الصفحة 33 كرةٌ فولاذيّةٌ عملاقة معلّقةٌ في برج تايبيه، «كأنّها نوّاساً عملاقاً»، تُخمد تأرجح البرج في الزلازل والرياح: نوّاسٌ مطلوبٌ منه أن يتخامد، على خلاف ما درسناه.