المسألة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. يحرف الخيط عن وضع التوازن بزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}>\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ ونترك الكرة بدون سرعة ابتدائية فتكون سرعتها لحظة مرورها بالشاقول $v=2\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ استنتج قيمة الزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$.

   العلاقة

   القوى الخارجيّة المؤثّرة في الكرة: ثقلها $\vec{w}$، وتوتّر الخيط $\vec{T}$. نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة بين وضعين: الأوّل عند ${\theta }_1={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، والثاني عند المرور بالشاقول ${\theta }_2=0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\Delta }{\bar{E}}_{k(1\to 2)}=\sum {\bar{W}}_{\vec{F}}}\\ {\displaystyle E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{T}}}\end{array}$$

   العلاقة

   في الوضع الأوّل $E_{k1}=0$ لأنّ الكرة تُترك دون سرعة ابتدائيّة، و${\bar{W}}_{\vec{T}}=0$ لأنّ حامل $\vec{T}$ يعامد الانتقال في كلّ لحظة، و${\bar{W}}_{\vec{w}}=mgh$، حيث $h$ ارتفاع الوضع الأوّل عن الوضع الثاني: $h=l-l\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=l(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$:

   $$\frac{1}{2}m{v}^2-0=mgl(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})+0$$

   العلاقة

   ومنها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle v^2=2gl(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\\ {\displaystyle \cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=1-\frac{v^2}{2gl}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $l=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{m}$:

   $$\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=1-\frac{2^2}{2\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}=\frac{1}{2}$$

   الجواب

   $${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{\pi }{3}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   وهي أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ كما في نصّ المسألة.

2. 2. استنتج بالرموز علاقة توتر خيط النواس لحظة مروره بوضع الشاقول ثم احسب قيمته.

   العلاقة

   نطبّق العلاقة الأساسيّة في التحريك على الكرة لحظة مرورها بالشاقول:

   $$\sum \vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec{w}+\vec{T}=m\vec{a}$$

   العلاقة

   بالإسقاط على محورٍ ينطبق على حامل $\vec{T}$ وبجهته (الناظم)، والتسارع الناظميّ $a_c=\frac{v^2}{l}$:

   $$-w+T=m\frac{v^2}{l}$$

   العلاقة

   ومنها العلاقة المطلوبة بالرموز:

   $$T=mg+m\frac{v^2}{l}$$

   وإذا عوّضنا $v^2$ بما وجدناه في الطلب الأوّل، $v^2=2gl(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$، نصل إلى علاقة الكتاب $T=mg(3-2\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$.

   التعويض

   مع $m=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{g}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$T=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\times \mathrm{1<!--\; -->0}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\times \frac{2^2}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}=1+1$$

   الجواب

   $$T=2\mathrm{N}$$

   أي ضعف ثقل الكرة $w=mg=1\mathrm{N}$.