المسألة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبْ دورَ هذا النوّاس في حالة السّعات الزاويّة الصغيرة.

   العلاقة

   دور النوّاس الثقليّ المركّب في السعات الصغيرة، والكتلة المهتزّة كلّها $m+m^{\mathrm{\prime }}$:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{(m+m^{\mathrm{\prime }})gd}}}$$

   العلاقة

   مركز عطالة الساق في منتصفها على بعد $\frac{L}{2}$ من المحور، والكتلة النقطيّة على بعد $r^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{m}$، وكلاهما تحت المحور:

   $$d={\displaystyle \frac{m\frac{L}{2}+m^{\mathrm{\prime }}{r}^{\mathrm{\prime }}}{m+m^{\mathrm{\prime }}}}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle d={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->5}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times 1}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}}}\\ {\displaystyle d=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->7<!--\; -->5}\mathrm{m}}\end{array}$$

   العلاقة

   عزم عطالة الساق حول المحور المارّ من طرفها بنظريّة هايغنز، ثمّ نضيف عزم عطالة الكتلة النقطيّة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}+m{\left(\frac{L}{2}\right)}^2+m^{\mathrm{\prime }}{r}^{\mathrm{\prime }2}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}m{L}^2+\frac{1}{4}m{L}^2+m^{\mathrm{\prime }}{r}^{\mathrm{\prime }2}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{3}m{L}^2+m^{\mathrm{\prime }}{r}^{\mathrm{\prime }2}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{3}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}}^2+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times 1^2}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->7<!--\; -->5}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->7<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   التعويض

   نعوّض في علاقة الدور، مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->7<!--\; -->5}}{1\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->7<!--\; -->5}}}}}\\ {\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}}\\ {\displaystyle T_0=\sqrt{4{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}=\sqrt{4}}\end{array}$$

   الجواب

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

2. 2. نزيحُ جملة النوّاس عن موضع توازنها الشاقوليّ بزاوية $\frac{\pi }{2}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، ونتركُها دون سرعة ابتدائيّة. احسبِ الطاقةَ الحركيّة للنوّاس لحظة مروره بالشاقول، ثمّ احسب السرعة الخطّيّة للكتلة النقطيّة $m^{\mathrm{\prime }}$ عندئذٍ.

   العلاقة

   القوّتان هما الثقل $\vec{w}$ وقوّة ردّ فعل المحور $\vec{R}$. نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة على الجملة بين الوضع الأوّل ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\frac{\pi }{2}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ والوضع الثاني لحظة المرور بالشاقول:

   $$E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{R}}$$

   العلاقة

   $E_{k1}=0$ لأنّ الجملة تُترك دون سرعةٍ ابتدائيّة، و${\bar{W}}_{\vec{R}}=0$ لأنّ نقطة تأثيرها على المحور لا تنتقل، وعمل الثقل ${\bar{W}}_{\vec{w}}=(m+m^{\mathrm{\prime }})gh$، حيث يهبط مركز العطالة $h=d(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle E_{k2}-0=(m+m^{\mathrm{\prime }})gh}\\ {\displaystyle E_{k2}=(m+m^{\mathrm{\prime }})gd(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\end{array}$$

   التعويض

   مع $m+m^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{k}\mathrm{g}$ و$\cos \frac{\pi }{2}=0$:

   $$E_{k2}=1\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->7<!--\; -->5}\times (1-0)$$

   الجواب

   $$E_{k2}=\mathrm{8<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->5}\mathrm{J}$$

   العلاقة

   الجملة جسمٌ صلبٌ يدور، فطاقته الحركيّة $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$، ومنها السرعة الزاويّة لحظة المرور بالشاقول:

   $${\displaystyle \frac{1}{2}}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2=E_{k2}\Rightarrow \omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{k2}}{I_{\mathrm{\Delta }}}}}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times \mathrm{8<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->5}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->7<!--\; -->5}}}}=\sqrt{\mathrm{2<!--\; -->0}}}\\ {\displaystyle \omega =2\sqrt{5}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   العلاقة

   والكتلة النقطيّة على بعد $r^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{m}$ من المحور:

   $$v^{\mathrm{\prime }}=\omega r^{\mathrm{\prime }}$$

   الجواب

   $$v^{\mathrm{\prime }}=2\sqrt{5}\times 1=2\sqrt{5}\approx \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->7}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$