المسألة الرابعة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبْ دورَ نوساتِها صغيرةِ السّعة.

   العلاقة

   دور النوّاس الثقليّ المركّب في السعات الصغيرة، والكتلة الكليّة $m=m_1+m_2$:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{mgd}}}$$

   العلاقة

   الكتلتان تحت المحور، $m_1$ على بعد $\frac{L}{2}$ و$m_2$ على بعد $L$، فبُعد مركز العطالة عن المحور:

   $$d={\displaystyle \frac{m_1\frac{L}{2}+m_{2}L}{m_1+m_2}}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle d={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\times 1}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}}}}\\ {\displaystyle d={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{m}}\end{array}$$

   العلاقة

   عزم عطالة الجملة حول المحور، حيث $r_i$ بعد الكتلة $m_i$ عن المحور، والساق مهملة الكتلة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\sum m_i{r}_i^2}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=m_1{\left(\frac{L}{2}\right)}^2+m_2{L}^2}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\times 1}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   التعويض

   نعوّض في علاقة الدور، مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{2}{3}}}}}\\ {\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->7<!--\; -->5}}}\\ {\displaystyle T_0=\sqrt{4{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->7<!--\; -->5}}=\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->7<!--\; -->5}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$T_0=\sqrt{3}\mathrm{s}\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->3}\mathrm{s}$$

2. 2. نزيحُ الجملة عن موضع توازنها بزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}>\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، ونتركُها دون سرعة ابتدائيّة، فتكونُ السرعةُ الخطيّةُ لمركز عطالة جملة النوّاس لحظةَ مرورها بالشاقول، $v=\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$. المطلوب: $\text{a}$. احسبِ السرعةَ الخطيّة للكتلة النقطيّة $m_2$ لحظة المرور بالشاقول. $\text{b}$. استنتجْ قيمةَ الزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$.

   العلاقة

   الطلب $\text{a}$: كلّ نقاط الجسم الصلب تدور بالسرعة الزاويّة نفسها $\omega$، وسرعة نقطةٍ على بعد $r$ من المحور $v=\omega r$. نجد $\omega$ من سرعة مركز العطالة الذي يبعد $d$ عن المحور:

   $$\omega ={\displaystyle \frac{v}{d}}$$

   التعويض

   $$\omega ={\displaystyle \frac{4\pi }{3\sqrt{3}}}\times {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\sqrt{3}}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   العلاقة

   الكتلة $m_2$ على بعد $L$ من المحور:

   $$v_2=\omega L$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle v_2={\displaystyle \frac{2\pi }{\sqrt{3}}}\times 1={\displaystyle \frac{2\pi }{\sqrt{3}}}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\\ {\displaystyle v_2\approx \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->5}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   العلاقة

   الطلب $\text{b}$: نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة على الجملة بين وضع الإزاحة ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ دون سرعة، ووضع المرور بالشاقول. عمل ردّ فعل المحور معدوم، وعمل الثقل يساوي $mgd(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$:

   $${\displaystyle \frac{1}{2}}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2-0=mgd(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$$

   التعويض

   نحسب $\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2$ و$mgd$ كلّاً على حدة، مع ${\omega }^2=\frac{4{\pi }^2}{3}=\frac{\mathrm{4<!--\; -->0}}{3}$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}{I}_{\mathrm{\Delta }}{\omega }^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}}{3}}=2\mathrm{J}}\\ {\displaystyle mgd=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=4\mathrm{J}}\\ {\displaystyle 2=4(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\\ {\displaystyle \cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$$

   الجواب

   $${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   وهي أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ كما في نصّ المسألة.