المسألة الثالثة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتجْ بالرموز العلاقةَ المحدّدة لسرعة الكرة عند مرورها بالشاقول، ثمّ احسبْ قيمتها، موضّحاً بالرسم.

   العلاقة

   نرسم وضعين للكرة: الوضع الأوّل حين يصنع الخيط الزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ مع الشاقول والكرة ساكنة، والوضع الثاني لحظة المرور بالشاقول. الوضع الأوّل أعلى من الثاني بمقدار $h$:

   العلاقة

   القوى الخارجيّة المؤثّرة في الكرة: ثقلها $\vec{w}$، وتوتّر الخيط $\vec{T}$. نطبّق نظريّة الطاقة الحركيّة بين الوضعين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\Delta }{\bar{E}}_{k(1\to 2)}=\sum {\bar{W}}_{\vec{F}}}\\ {\displaystyle E_{k2}-E_{k1}={\bar{W}}_{\vec{w}}+{\bar{W}}_{\vec{T}}}\end{array}$$

   العلاقة

   $E_{k1}=0$ لأنّ الكرة تُترك دون سرعة ابتدائيّة، و${\bar{W}}_{\vec{T}}=0$ لأنّ حامل $\vec{T}$ يعامد الانتقال في كلّ لحظة، و${\bar{W}}_{\vec{w}}=mgh$ لأنّ الكرة تهبط $h$:

   $$\frac{1}{2}m{v}^2-0=mgh+0$$

   العلاقة

   ومنها العلاقة المطلوبة:

   $$v=\sqrt{2gh}$$

   التعويض

   $$v=\sqrt{2\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}}=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->6}}$$

   الجواب

   $$v=4\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. 2. استنتجْ قيمةَ الزاوية ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، ثمّ احسبْ قيمتها.

   العلاقة

   من الرسم: الكرة في الوضع الأوّل تحت نقطة التعليق بمقدار $l\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، وفي الوضع الثاني بمقدار $l$، والفرق بينهما $h$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle h=l-l\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}\\ {\displaystyle \cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=1-{\displaystyle \frac{h}{l}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=1-{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   الجواب

   $${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   وهي أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ كما في نصّ المسألة.

3. 3. احسبْ دورَ هذا النوّاس.

   العلاقة

   السعة $\frac{\pi }{3}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ أكبر من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، فهي سعةٌ كبيرة، ودور النوّاس عندئذٍ:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}\approx T_0[1+{\displaystyle \frac{{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}]$$

   العلاقة

   حيث $T_0$ دوره في السعات الصغيرة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l}{g}}}$$

   التعويض

   مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\pi \approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->3}\mathrm{s}$$

   التعويض

   ويكون ${\displaystyle \frac{{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{9\times \mathrm{1<!--\; -->6}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}}}$:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\pi [1+{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}}}]$$

   الجواب

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->1}\mathrm{s}$$

   أطول من دوره في السعات الصغيرة $T_0\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->3}\mathrm{s}$.

4. 4. استنتجْ بالرموز العلاقةَ المحدّدة لشدّة قوّة توتّر الخيط عند المرور بالشاقول، ثمّ احسب قيمتها.

   العلاقة

   نطبّق العلاقة الأساسيّة في التحريك على الكرة لحظة مرورها بالشاقول:

   $$\sum \vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec{w}+\vec{T}=m\vec{a}$$

   العلاقة

   بالإسقاط على محورٍ ينطبق على حامل $\vec{T}$ وبجهته (الناظم)، والتسارع الناظميّ $a_c=\frac{v^2}{l}$:

   $$-w+T=m\frac{v^2}{l}$$

   العلاقة

   ومنها العلاقة المطلوبة بالرموز، ثمّ نعوّض $v^2=2gh=2gl(1-\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T=mg+m\frac{v^2}{l}}\\ {\displaystyle T=mg(3-2\cos {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}})}\end{array}$$

   التعويض

   $$T=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times (3-2\times \frac{1}{2})$$

   الجواب

   $$T=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{N}$$

   أي ضعف ثقل الكرة $w=mg=5\mathrm{N}$.