المسألة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب كميّة حركةِ الإلكترون وفقَ قوانين الميكانيك الكلاسيكيّ،

   العلاقة

   في الميكانيك الكلاسيكيّ لا تتغيّر الكتلة بالحركة:

   $$p=m_{0}v$$

   التعويض

   مع $c=3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ و$m_0=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->1}}\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle v={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\times 3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8}\\ {\displaystyle v=2\sqrt{2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\\ {\displaystyle p=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->1}}\times 2\sqrt{2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle p=\mathrm{1<!--\; -->8}\sqrt{2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->3}}}\\ {\displaystyle p\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->2}}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

2. 2. ثمّ وفقَ الميكانيك النسبيّ،

   العلاقة

   في الميكانيك النسبيّ الكتلة أثناء الحركة $m=\gamma m_0$:

   $$p=mv=\gamma m_{0}v$$

   التعويض

   مع ${\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{8}{9}}}}}=3}\\ {\displaystyle p=3\times \mathrm{1<!--\; -->8}\sqrt{2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->3}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle p=\mathrm{5<!--\; -->4}\sqrt{2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->3}}}\\ {\displaystyle p\approx \mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->2}}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

3. 3. أيُّهما الأصحُّ برأيك؟

   العلاقة

   قوانين الميكانيك الكلاسيكيّ تصحّ حين تكون السرعة صغيرةً جدّاً أمام سرعة الضوء. وسرعة الإلكترون هنا نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->4}c$، فليست صغيرةً أمامها.

   الجواب

   الأصحّ قيمة الميكانيك النسبيّ:

   $$p\approx \mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->2}}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   والقيمة الكلاسيكيّة ثلثُ القيمة النسبيّة، لأنّ $\gamma =3$.