المسألة الثالثة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبْ دورَ الميقاتيّة.

   العلاقة

   الدور الخاصّ لنوّاس الفتل:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{k}}}$$

   العلاقة

   عزم عطالة الجملة حول السلك مجموع عزوم عطالة أجزائها: القرص والساق حول محورٍ يمرّ من مركزيهما، والكتلتان النقطيّتان كلٌّ منهما على بعد $r={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}}{2}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2}\mathrm{m}$ من السلك:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}=I_1+I_2+m_1{r}^2+m_2{r}^2$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2}\times (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}{)}^2}\\ {\displaystyle I_1=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle I_2={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->1<!--\; -->2}\times (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}{)}^2}\\ {\displaystyle I_2=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle 2m_1{r}^2=2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}\times (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2}{)}^2}\\ {\displaystyle 2m_1{r}^2=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=(\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4})\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   التعويض

   نعوّض في علاقة الدور، والنسبة تحت الجذر ${\displaystyle \frac{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}{8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}$:

   $$T_0=2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}}=\pi$$

   الجواب

   مع $\pi =\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->4}$:

   $$T_0=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->4}\mathrm{s}$$

2. 2. إذا أردنا للدَّور أنْ يزدادَ بمقدار $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->6}\mathrm{s}$ وذلك بزيادة البعد بين الكتلتين، فما البعدُ الجديدُ الذي يجبُ أنْ يصبحَ بينهما؟

   التعويض

   الدور الجديد:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->4}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->6}=4\mathrm{s}$$

   العلاقة

   السلك نفسه، فثابت الفتل لا يتغيّر، ومن علاقة الدور نجد عزم العطالة الجديد:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {T_0^{\mathrm{\prime }}}^2=4{\pi }^2{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}}{k}}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{k{T_0^{\mathrm{\prime }}}^2}{4{\pi }^2}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع ${\pi }^2\approx \mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\times 4^2}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   العلاقة

   القرص والساق لم يتغيّرا، وصارت كلٌّ من الكتلتين على بعد $r^{\mathrm{\prime }}$ من السلك:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=I_1+I_2+2m_1{r}^{\mathrm{\prime }2}}\\ {\displaystyle r^{\mathrm{\prime }2}={\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}-I_1-I_2}{2m_1}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle r^{\mathrm{\prime }2}={\displaystyle \frac{(\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->2}-\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6})\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}{2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}}}}\\ {\displaystyle r^{\mathrm{\prime }2}=\mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle r^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}\mathrm{m}}\end{array}$$

   الجواب

   والبعد الجديد بين الكتلتين ضعف ذلك:

   $$2r^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\mathrm{m}=8\mathrm{c}\mathrm{m}$$

   أي ضعف البعد الأوّل $4\mathrm{c}\mathrm{m}$.