المسألة الثانية من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتج التابع الزمنيّ لمطال حركة هذه النقطة بعد تعيين قيمة الثوابت.

   العلاقة

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال:

   $$\bar{x}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   التعويض

   السعة $X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=8\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\mathrm{m}$، والنبض الخاصّ من الدور $T_0=4\mathrm{s}$:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}={\displaystyle \frac{2\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويض

   في اللحظة $t=0$ تكون النقطة في الموضع ${\displaystyle \frac{X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{2}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{2}}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\end{array}$$

   العلاقة

   نختار الإشارة من جهة الحركة. تابع السرعة مشتقّ تابع المطال بالنسبة للزمن، والنقطة تتحرّك عند $t=0$ بالاتّجاه السالب، فسرعتها الجبريّة سالبة، وهذا يقتضي $\sin \bar{\phi }>0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{v}=(\bar{x}{)}_t^{\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })}\\ {\displaystyle {\bar{v}}_0=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin \bar{\phi }}\end{array}$$

   التعويض

   والإشارة الموجبة وحدها تحقّق ذلك:

   $$\bar{\phi }=+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$

   الجواب

   $$\bar{x}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$

   حيث $\bar{x}$ بالمتر و$t$ بالثانية.

2. 2. عيّن لحظتي المرور الأوَّل والثالث في وضع التوازن.

   العلاقة

   تمرّ النقطة بوضع التوازن حين ينعدم مطالها، مع $n=0,1,2,\dots$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=0}\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{2}}t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+n\pi }\\ {\displaystyle t={\displaystyle \frac{1}{3}}+2n}\end{array}$$

   الجواب

   المرور الأوّل عند $n=0$، والمرور الثالث عند $n=2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle t_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{s}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->3}\mathrm{s}}\\ {\displaystyle t_3={\displaystyle \frac{1}{3}}+4={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3}}{3}}\mathrm{s}\approx \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->3}\mathrm{s}}\end{array}$$

   بين مرورين متتاليين نصف دور، ${\displaystyle \frac{T_0}{2}}=2\mathrm{s}$.

3. 3. عيّن المواضع التي تكون فيها شدَّة محصِّلة القوى عظمى، واحسب قيمتها، وحدّد موضعاً تنعدم فيه شدَّة هذه المحصِّلة.

   العلاقة

   محصّلة القوى المؤثّرة في النقطة المادّيّة تساوي $m\bar{a}$، وفي الحركة الجيبيّة الانسحابيّة $\bar{a}=-{\omega }_0^2\bar{x}$:

   $$\bar{F}=m\bar{a}=-m{\omega }_0^2\bar{x}$$

   الجواب

   شدّتها تتناسب طرداً مع طويلة المطال، فهي عظمى في الموضعين الطرفيّين:

   $$\bar{x}=\pm X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\pm 8\mathrm{c}\mathrm{m}$$

   التعويض

   مع ${\omega }_0^2={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=m{\omega }_0^2{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}\\ {\displaystyle F_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{4}}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}}\end{array}$$

   الجواب

   $$F_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{N}$$

   الجواب

   وتنعدم المحصّلة حيث ينعدم المطال، أي في مركز الاهتزاز:

   $$\bar{x}=0$$

4. 4. احسب قيمة ثابت صلابة النابض، وهل تتغيَّر هذه القيمة باستبدال الكتلة المعلَّقة؟

   العلاقة

   النبض الخاصّ للنوّاس المرن:

   $${\omega }_0^2={\displaystyle \frac{k}{m}}\Rightarrow k=m{\omega }_0^2$$

   التعويض

   مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$k=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{4}}$$

   الجواب

   $$k=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$$

   الجواب

   لا تتغيّر: ثابت الصلابة صفةٌ للنابض نفسه، لا للكتلة المعلّقة به. أمّا باستبدال الكتلة فيتغيّر النبض الخاصّ والدور الخاصّ.

5. 5. احسب الكتلة التي تجعل الدَّور الخاصّ $1\mathrm{s}$.

   العلاقة

   من علاقة الدور الخاصّ للنوّاس المرن، والنابض نفسه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {T_0^{\mathrm{\prime }}}^2=4{\pi }^2{\displaystyle \frac{m^{\mathrm{\prime }}}{k}}}\\ {\displaystyle m^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{k{T_0^{\mathrm{\prime }}}^2}{4{\pi }^2}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $T_0^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{s}$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$m^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times 1^2}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}$$

   الجواب

   $$m^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}=\mathrm{3<!--\; -->1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{g}$$

   وبالتناسب، دون $\pi$: الدور يتناسب طرداً مع $\sqrt{m}$، فإذا صار ربع ما كان صارت الكتلة ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}$ ما كانت، ${\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}$.