المسألة الرابعة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتج عبارة الدورِ الخاصّ لاهتزاز هذا النوّاس من أجل السّعات الزاوية الصغيرة إذا علمت أنّ عزم عطالة الحلقة حول محور عموديّ على مستويها، ومارّ من مركز عطالتها $I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}=M{R}^2$ ثم احسبه.

   العلاقة

   الدور الخاصّ للنوّاس الثقليّ المركّب في السعات الزاويّة الصغيرة، و$M$ كتلة الحلقة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{Mgd}}}$$

   العلاقة

   نعدّ الحلقة رقيقةً متجانسةً، فمركز عطالتها $C$ في مركزها، والمحور يمرّ من النقطة $O$ على محيطها، فبُعد مركز العطالة عن المحور:

   $$d=R$$

   العلاقة

   عزم عطالة الحلقة حول المحور المارّ من $O$ بنظرية هايغنز:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}+M{d}^2}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=M{R}^2+M{R}^2=2M{R}^2}\end{array}$$

   التعويض

   نعوّض في علاقة الدور، فتُختصر $M$:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{2M{R}^2}{MgR}}}$$

   الجواب

   العبارة المطلوبة:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{2R}{g}}}$$

   التعويض

   مع $R=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}$، و$g=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$، و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ أي $4{\pi }^2=\mathrm{4<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}=2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->5}}}\\ {\displaystyle T_0=\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->5}}=\sqrt{1}}\end{array}$$

   الجواب

   $$T_0=1\mathrm{s}$$

2. 2. احسبْ طول النوّاس البسيط المواقت.

   العلاقة

   طول النوّاس البسيط المواقت، الذي يهتزّ بالدور الخاصّ نفسه:

   $$l={\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{Md}}$$

   التعويض

   $$l={\displaystyle \frac{2M{R}^2}{MR}}=2R=2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}$$

   الجواب

   $$l=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{c}\mathrm{m}$$

   أي قطر الحلقة. وللتحقّق: دور نوّاسٍ بسيطٍ بهذا الطول $2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}$، أي $\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->5}}=1\mathrm{s}$، الدور نفسه.