ليش صفر على صفر ما بيساوي واحد؟

بتوصل لنهاية، بتعوّض، وبيطلع معك $\frac{0}{0}$. وبتقول بحالك: يعني واحد، لأنّ كلّ شي مقسوم على حالو بيساوي واحد. هون بالضبط بيضيع أكثر طالب في الوحدة كلّها.

تذكّر: $\frac{0}{0}$ ليست كسراً أصلاً، فالقسمة على الصفر غير جائزة. هي رمزٌ نكتبه لنقول: الجدول لا يحسم هذه الحالة.

والبرهان على أنّه لا عدد وراء هذا الرمز يحتاج ثلاثة أمثلة فقط. خُذ ثلاثة توابع عند الصفر، وكلّها من الصيغة $\frac{0}{0}$:

ثلاث نتائج مختلفة تماماً، والصيغة واحدة. فلو كان $\frac{0}{0}$ عدداً لكان له قيمةٌ واحدة. إذن هو ليس عدداً، بل إشارةٌ إلى أنّ عليك أن تشتغل أكثر.

والصيغ التي لا تُقرأ من الجداول أربع، لا واحدة. الكتاب يجمعها في إطارٍ واحد في صفحة 30:

طيّب، وشو منعمل لمّا نوقع بوحدة منّن؟ منغيّر صيغة التابع، لا التابع نفسه. في الدرس ثلاث حيل: إخراج عاملٍ مشترك ثمّ الاختصار، والضرب بالمرافق حين يظهر جذرٌ في فرق، وإخراج الحدّ المسيطر خارج قوسين عند اللانهاية.

تذكّر: الترتيب واحدٌ في الحيل الثلاث: تعرّف على الصيغة أوّلاً، ثمّ أعد كتابة التابع، ثمّ طبّق الجدول. من طبّق الجدول قبل إعادة الكتابة، حصل على رمزٍ لا على نتيجة.

انتبه: انتبه إلى المثال الثالث أعلاه: كُتب $x\to 0^{+}$ وليس $x\to 0$. من جهة اليسار يسعى $\frac{x}{x^2}$ إلى $-\mathrm{\infty }$، فلا نهاية له عند الصفر من الجهتين معاً. الجهة جزءٌ من الجواب، لا زينةٌ فوقه.