المسألة الأولى من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبْ نبضَ الحركة.

   العلاقة

   النبض الخاصّ للنوّاس المرن:

   $${\omega }_0^2={\displaystyle \frac{k}{m}}$$

   التعويض

   $${\omega }_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}}}=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}$$

   الجواب

   $${\omega }_0=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. 2. استنتجِ التابعَ الزمنيَّ لمطال الحركة.

   العلاقة

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال:

   $$\bar{x}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   التعويض

   النبض ${\omega }_0=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ من الطلب الأوّل. وفي اللحظة $t=0$ يمرّ الجسم بمركز الاهتزاز:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 0=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }=0}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\end{array}$$

   العلاقة

   تابع السرعة مشتقّ تابع المطال بالنسبة للزمن، ونعوّض فيه $t=0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{v}=(\bar{x}{)}_t^{\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })}\\ {\displaystyle {\bar{v}}_0=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin \bar{\phi }}\end{array}$$

   التعويض

   السرعة الابتدائيّة سالبة، ${\bar{v}}_0=-3\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، وهذا يقتضي $\sin \bar{\phi }>0$، فالإشارة الموجبة وحدها تصلح، و$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=1$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\phi }=+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\\ {\displaystyle -3=-\mathrm{1<!--\; -->0}{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\times 1}\\ {\displaystyle X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{m}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{x}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\cos (\mathrm{1<!--\; -->0}t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$

   حيث $\bar{x}$ بالمتر و$t$ بالثانية. وفي مركز الاهتزاز تكون طويلة السرعة أعظميّة، $v_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، أي $\mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}=3\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، كما في نصّ المسألة.

3. 3. احسبْ شدّة قوّة الإرجاع في نقطة مطالها $3\mathrm{c}\mathrm{m}$.

   العلاقة

   قوّة الإرجاع تتناسب طرداً مع المطال وتعاكسه بالإشارة:

   $$\bar{F}=-k\bar{x}$$

   التعويض

   مع $\bar{x}=3\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3}\mathrm{m}$:

   $$\bar{F}=-\mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3}=-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{N}$$

   الجواب

   $$F=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{N}$$

   الشدّة موجبة؛ والإشارة السالبة للقيمة الجبريّة تعني أنّ القوّة موجّهةٌ بعكس المطال، نحو مركز الاهتزاز.