المسألة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب سرعةَ الماءِ عندَ دخولِه الأنبوبَ وعند فتحةِ خروجِه من الأنبوبِ.

   العلاقة

   بحسب معادلة الاستمراريّة، معدّل التدفّق الحجميّ واحد عند الفوّهتين:

   $$Q^{\mathrm{\prime }}=s_1{v}_1=s_2{v}_2$$

   التعويض

   مع $s_1=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}{\mathrm{m}}^2$ و$s_2=5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle v_1={\displaystyle \frac{Q^{\mathrm{\prime }}}{s_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->5}}{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}}}\\ {\displaystyle v_2={\displaystyle \frac{Q^{\mathrm{\prime }}}{s_2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->5}}{5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=5\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\\ {\displaystyle v_2=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

2. 2. احسب قيمةَ ضغطِ الماءِ عندَ دخولِه الأنبوبَ علماً بأنّ الضغطَ الجويّ $1\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^5\mathrm{P}\mathrm{a}$، والارتفاعَ بينَ الفوّهتين $\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{m}$

   العلاقة

   معادلة برنولي بين فوّهة الدخول $(1)$ وفوّهة الخروج $(2)$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_1^2+\rho g{z}_1}\\ {\displaystyle =P_2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_2^2+\rho g{z}_2}\end{array}$$

   التعويض

   الماء يخرج من الفوّهة العليا إلى الخزّان العلويّ، فالضغط عندها هو الضغط الجويّ $P_2={\mathrm{1<!--\; -->0}}^5\mathrm{P}\mathrm{a}$، و$z_2-z_1=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{m}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_1=P_2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho (v_2^2-v_1^2)}\\ {\displaystyle +\rho g(z_2-z_1)}\\ {\displaystyle P_1={\mathrm{1<!--\; -->0}}^5+\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0}\times (\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}-\mathrm{2<!--\; -->5})}\\ {\displaystyle +\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{2<!--\; -->0}}\\ {\displaystyle P_1={\mathrm{1<!--\; -->0}}^5+\mathrm{3<!--\; -->7<!--\; -->5<!--\; -->0<!--\; -->0}+\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}\end{array}$$

   الجواب

   $$P_1=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->7<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^5\mathrm{P}\mathrm{a}$$

3. 3. احسب العمل الميكانيكي اللازم لضخ $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{L}$ من الماء إلى الخزان العلوي.

   العلاقة

   العمل الكلّيّ المبذول على الماء بين الفوّهتين، أي عمل الثقل وعمل قوّتي الضغط معاً، يساوي تغيّر طاقته الحركيّة، كما في استنتاج معادلة برنولي:

   $$W_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t<!-- -->a<!-- -->l}}=\mathrm{\Delta }{E}_k={\displaystyle \frac{1}{2}}m(v_2^2-v_1^2)$$

   التعويض

   كتلة $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{L}$ من الماء $m=\rho \mathrm{\Delta }V=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$W_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t<!-- -->a<!-- -->l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times (\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}-\mathrm{2<!--\; -->5})$$

   الجواب

   $$W_{\text{t<!-- -->o<!-- -->t<!-- -->a<!-- -->l}}=\mathrm{3<!--\; -->7<!--\; -->5<!--\; -->0}\mathrm{J}$$

   وللتحقّق: عمل الثقل $W_w=-mg(z_2-z_1)=-\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{J}$، وعمل قوّتي الضغط $(P_1-P_2)\mathrm{\Delta }V=\mathrm{2<!--\; -->3<!--\; -->7<!--\; -->5<!--\; -->0}\mathrm{J}$، ومجموعهما $\mathrm{3<!--\; -->7<!--\; -->5<!--\; -->0}\mathrm{J}$.