المسألة الثالثة من امتحان 2023، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. سرعة الماء عند فتحة دخوله الأنبوب وعند فتحة خروجه من الأنبوب.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   بحسب معادلة الاستمراريّة، معدّل التدفّق الحجميّ $Q^{\mathrm{\prime }}$ واحدٌ في كلّ مقطعٍ من الأنبوب، فعند فتحة الدخول:

   $$Q^{\mathrm{\prime }}=s_1{v}_1$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $s_1=\mathrm{1<!--\; -->5}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=\mathrm{1<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->3}=\mathrm{1<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{v}_1$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$v_1=2\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   العلاقة

   وعند فتحة الخروج:

   $$Q^{\mathrm{\prime }}=s_2{v}_2$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $s_2=5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->3}=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{v}_2$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$v_2=6\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   المقطع أصغر بثلاث مرّات، فالسرعة أكبر بثلاث مرّات.

2. 2. قيمة فرق الضغط $(p_1-p_2)$ بين فوهتي الأنبوب علماً أنّ الارتفاع بينهما $\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{m}$.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   معادلة برنولي بين فوّهة الدخول $(1)$ وفوّهة الخروج $(2)$، والماء سائلٌ مثاليّ في جريانٍ مستقرّ، و$h=z_2-z_1$ ارتفاع الفوّهة العليا عن السفلى:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle p_1-p_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\rho (v_2^2-v_1^2)}\\ {\displaystyle +\rho gh}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل الشكل العامّ لمعادلة برنولي.

   التعويضالدرجة: 3

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle p_1-p_2={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0})(\mathrm{3<!--\; -->6}-4)}\\ {\displaystyle +\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{2<!--\; -->0}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$p_1-p_2=\mathrm{2<!--\; -->1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3\mathrm{P}\mathrm{a}$$

   منها $\mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3\mathrm{P}\mathrm{a}$ لزيادة السرعة، و$\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3\mathrm{P}\mathrm{a}$ لرفع الماء $\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{m}$.

3. 3. العمل الميكانيكي اللازم لضخّ $\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{L}$ من الماء إلى الخزّان العلوي.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   العمل الكلّيّ $W_T$ المبذول على الماء بين الفوّهتين، أي عمل الثقل وعمل قوّتي الضغط معاً، يساوي تغيّر طاقته الحركيّة، كما في استنتاج معادلة برنولي:

   $$W_T=\mathrm{\Delta }{E}_k$$

   العلاقةالدرجة: 2

   $$W_T={\displaystyle \frac{1}{2}}m(v_2^2-v_1^2)$$

   العلاقةالدرجة: 3

   كتلة الحجم $\mathrm{\Delta }V$ من الماء:

   $$m=\rho \mathrm{\Delta }V$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $\mathrm{\Delta }V=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{L}=\mathrm{5<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}{\mathrm{m}}^3$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle W_T={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{5<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3})}\\ {\displaystyle \times (\mathrm{3<!--\; -->6}-4)}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$W_T=\mathrm{8<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{J}$$

   وللتحقّق: عمل الثقل $-mgh=-\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{J}$، وعمل قوّتي الضغط $(p_1-p_2)\mathrm{\Delta }V=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->8<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{J}$، ومجموعهما $\mathrm{8<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{J}$.