المسألة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتج التابعَ الزمنيّ للمطال الزاويّ انطلاقاً من شكله العامّ.

   العلاقة

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال الزاويّ:

   $$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   التعويض

   النبض الخاصّ من الدور $T_0=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{s}$، ونُبقي $\pi$ فيه:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويض

   في اللحظة $t=0$ تكون الساق مزاحةً ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ دون سرعة، فهذه سعتها الزاويّة ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، ونعوّض في الشكل العامّ:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }=1}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=0}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\pi t)$$

   حيث $\bar{\theta }$ بالراديان و$t$ بالثانية.

2. 2. احسبْ قيمةَ السرعة الزاويّة للساق لحظة مرورِها الأوّل بوضع التوازن.

   العلاقة

   تابع السرعة الزاويّة مشتقّ تابع المطال الزاويّ بالنسبة للزمن:

   $$\bar{\omega }=(\bar{\theta }{)}_t^{\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t)$$

   التعويض

   تمرّ الساق بوضع التوازن أوّل مرّةٍ بعد ربع دور:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle t={\displaystyle \frac{T_0}{4}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}}{4}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{s}}\\ {\displaystyle {\omega }_{0}t=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\pi \times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->2<!--\; -->5}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\end{array}$$

   التعويض

   نعوّض، مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\omega }=-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\pi \times {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\\ {\displaystyle \bar{\omega }=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}{\pi }^2}{3}}=-{\displaystyle \frac{8}{3}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{\omega }=-{\displaystyle \frac{8}{3}}\approx -\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->7}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   طويلتها ${\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، والإشارة السالبة تعني أنّ الساق تدور عندئذٍ نحو المطالات السالبة.

3. 3. احسبْ طولَ الساق.

   العلاقة

   من علاقة الدور الخاصّ نجد عزم عطالة الجملة حول السلك:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0^2=4{\pi }^2{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{k}}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{k{T}_0^2}{4{\pi }^2}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $k=\mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}^{-1}$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times (\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}{)}^2}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   العلاقة

   الساق مهملة الكتلة، فعزم العطالة للكتلتين وحدهما، وكلٌّ منهما على بعد ${\displaystyle \frac{l}{2}}$ من السلك:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\sum m_i{r}_i^2=2m{\left({\displaystyle \frac{l}{2}}\right)}^2}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{m{l}^2}{2}}}\end{array}$$

   التعويض

   ومنها الطول، مع $m=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{g}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle l=\sqrt{{\displaystyle \frac{2I_{\mathrm{\Delta }}}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}}}}}\\ {\displaystyle l=\sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$l=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$$