المسألة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبِ الدورَ الخاصّ للنوّاس.

   العلاقة

   الدور الخاصّ لنوّاس الفتل:

   $$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{k}}}$$

   العلاقة

   السلك يمرّ من مركز القرص عموديّاً على مستويه، فعزم عطالة القرص حوله $I_{\mathrm{\Delta }}=I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}$، مع $r=4\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}\mathrm{m}$:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{r}^2$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2\times (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}{)}^2}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   التعويض

   نعوّض في علاقة الدور، والنسبة تحت الجذر ${\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{\mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}$، مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}}\\ {\displaystyle T_0=\sqrt{4{\pi }^2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}=\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$T_0=2\mathrm{s}$$

2. 2. استنتجِ التابعَ الزمنيَّ للمطال الزاويّ انطلاقاً من شكله العامّ.

   العلاقة

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال الزاويّ:

   $$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   التعويض

   النبض الخاصّ من الدور:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   التعويض

   في اللحظة $t=0$ يكون $\bar{\theta }=+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ والقرص يُترك دون سرعة، فهذه سعته الزاويّة ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، ونعوّض في الشكل العامّ:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }=1}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=0}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cos (\pi t)$$

   حيث $\bar{\theta }$ بالراديان و$t$ بالثانية.

3. 3. احسبِ الطاقةَ الكامنةَ في وضع مطاله الزاويّ $\theta =\frac{\pi }{8}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، ثمّ احسب الطاقة الحركيّة عندئذٍ.

   العلاقة

   الطاقة الكامنة لنوّاس الفتل عند المطال الزاويّ $\theta$:

   $$E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}k{\theta }^2$$

   التعويض

   مع $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{8}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times {\displaystyle \frac{{\pi }^2}{\mathrm{6<!--\; -->4}}}}\\ {\displaystyle E_p=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{6<!--\; -->4}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$E_p=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{J}$$

   العلاقة

   الطاقة الميكانيكيّة ثابتة، ونحسبها في وضع المطال الزاويّ الأعظميّ حيث الطاقة الحركيّة معدومة؛ والطاقة الحركيّة هي الباقي:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle E={\displaystyle \frac{1}{2}}k{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}\\ {\displaystyle E_k=E-E_p}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle E=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times {\displaystyle \frac{{\pi }^2}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}}\\ {\displaystyle E=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{J}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle E_k=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}-\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle E_k=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{J}}\end{array}$$