المسألة الثالثة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتجِ التابعَ الزمنيَّ للمطال الزاويّ انطلاقاً من شكله العامّ.

   العلاقة

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للمطال الزاويّ:

   $$\bar{\theta }={\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   التعويض

   نحوّل السعة الزاويّة إلى الراديان، ونحسب النبض الخاصّ من الدور:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\\ {\displaystyle {\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   التعويض

   في اللحظة $t=0$ تكون الساق في سعتها الموجبة دون سرعة، فنعوّض في الشكل العامّ:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos \bar{\phi }}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }=1}\\ {\displaystyle \bar{\phi }=0}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos (2\pi t)$$

   حيث $\bar{\theta }$ بالراديان و$t$ بالثانية.

2. 2. احسبْ قيمةَ السرعة الزاويّة للساق لحظة مرورِها الثاني بوضع التوازن.

   العلاقة

   تمرّ الساق بوضع التوازن حين ينعدم مطالها، و$n$ عددٌ صحيح:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos (2\pi t)=0}\\ {\displaystyle 2\pi t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+n\pi }\\ {\displaystyle t={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{n}{2}}}\end{array}$$

   التعويض

   المرور الأوّل عند $n=0$، والمرور الثاني عند $n=1$:

   $$t={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{s}$$

   العلاقة

   تابع السرعة الزاويّة مشتقّ تابع المطال الزاويّ بالنسبة للزمن:

   $$\bar{\omega }=(\bar{\theta }{)}_t^{\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t)$$

   التعويض

   نعوّض $t={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{s}$، و$\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}=-1$، مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\omega }=-2\pi \times {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}}\\ {\displaystyle \bar{\omega }=+{\displaystyle \frac{2{\pi }^2}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{3}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{\omega }=+{\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{3}}\approx \mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->7}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   موجبة: في المرور الثاني تعود الساق من المطالات السالبة نحو الموجبة.

3. 3. احسبْ قيمةَ التسارع الزاويّ للساق عندما تصنع زاوية $(-{\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ })$ مع وضع توازنها.

   العلاقة

   من المعادلة التفاضليّة لنوّاس الفتل:

   $$\bar{\alpha }=(\bar{\theta }{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0^2\bar{\theta }$$

   التعويض

   مع $\bar{\theta }=-{\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ و${\omega }_0^2=4{\pi }^2=\mathrm{4<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\alpha }=-\mathrm{4<!--\; -->0}\times (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})}\\ {\displaystyle \bar{\alpha }={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}\pi }{3}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{\alpha }={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}\pi }{3}}\approx \mathrm{2<!--\; -->1}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$$

   موجبٌ، بعكس إشارة المطال: التسارع الزاويّ موجّهٌ نحو وضع التوازن.

4. $\text{b}$. نثبّت بالطرفين $a,b$ كتلتين نقطيّتين $m_1=m_2=\mathrm{7<!--\; -->5}\mathrm{g}$ استنتجْ قيمةَ الدورِ الخاصّ الجديد للجملة المهتزّة، ثم احسب قيمةَ ثابت فتل السلك.

   العلاقة

   عزم عطالة الجملة الجديدة: عزم عطالة الساق مضافاً إليه عزم عطالة الكتلتين، وكلٌّ منهما على بعد ${\displaystyle \frac{l}{2}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}$ من السلك:

   $$I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}+2m_1{\left({\displaystyle \frac{l}{2}}\right)}^2$$

   التعويض

   مع $m_1=\mathrm{7<!--\; -->5}\mathrm{g}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->7<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}+2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->7<!--\; -->5}\times (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}{)}^2}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}+6\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2}\end{array}$$

   العلاقة

   السلك نفسه، فثابت الفتل لا يتغيّر، ونقسم علاقتي الدور:

   $${\displaystyle \frac{T_0^{\mathrm{\prime }}}{T_0}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}}{I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}}}}$$

   التعويض

   $${\displaystyle \frac{T_0^{\mathrm{\prime }}}{1}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}}}=\sqrt{4}$$

   الجواب

   $$T_0^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{s}$$

   العلاقة

   ثابت الفتل من علاقة الدور الخاصّ للساق وحدها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0^2=4{\pi }^2{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}}{k}}}\\ {\displaystyle k={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{I}_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}}{T_0^2}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$k={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}\times 2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{1^2}}$$

   الجواب

   $$k=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}^{-1}$$

   وبالجملة الجديدة النتيجة نفسها: ${\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}\times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{2^2}}=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}$.

5. $\text{c}$. نقسِّمُ سلكَ الفتل قسمين متساويين، ونعلّقُ الساقَ بعدئذٍ بنصفَي السلك معاً؛ أحدُهما من الأعلى، والآخرُ من الأسفل ومن منتصفها، ويثبّت طرف هذا السلك من الأسفل بحيث يكون شاقوليّاً. استنتجْ قيمةَ الدور الخاصّ الجديد للساق (دون وجود كتل نقطية). افترض ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$

   العلاقة

   كلّ نصفٍ من المادّة نفسها وبالقطر نفسه وبنصف الطول، وثابت الفتل يتناسب عكساً مع طول السلك (الصفحة 21)، فثابت فتل كلّ نصفٍ ضعف ثابت السلك كلّه:

   $$k_1=k_2=2k$$

   العلاقة

   حين تدور الساق بزاوية $\bar{\theta }$ يُفتل النصفان كلاهما بالزاوية نفسها، فيؤثّر كلٌّ منهما فيها بمزدوجة فتل، ومجموع عزميهما:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum {\bar{\mathrm{\Gamma }}}_{\mathrm{\Delta }}=-k_1\bar{\theta }-k_2\bar{\theta }}\\ {\displaystyle \sum {\bar{\mathrm{\Gamma }}}_{\mathrm{\Delta }}=-4k\bar{\theta }}\end{array}$$

   العلاقة

   فالساق تهتزّ كنوّاس فتلٍ ثابت فتله $4k$، ودورها الخاصّ الجديد:

   $$T_0^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}}{4k}}}={\displaystyle \frac{T_0}{2}}$$

   التعويض

   مع $k=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}^{-1}$ من الطلب $\text{b}$، و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {T_0^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}\times 2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{4\times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}}\\ {\displaystyle {T_0^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}^2=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}}\end{array}$$

   الجواب

   $$T_0^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{s}$$

   نصف الدور الأوّل $T_0=1\mathrm{s}$.