المسألة التاسعة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب شدّة الحقل المغناطيسيّ المتولِّد في مركز الوشيعة.

   العلاقة

   شدّة الحقل المغناطيسيّ داخل الوشيعة، و$l$ طولها، و$N$ عدد لفّاتها:

   $$B=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{N}{l}}I$$

   التعويض

   مع $l=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{m}$، و$I=\mathrm{1<!--\; -->6}\mathrm{m}\mathrm{A}=\mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{A}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle B=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}}\times \mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle B=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}\end{array}$$

   الجواب

   $$B\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{T}$$

2. 2. احسب زاوية انحراف إبرة مغناطيسية موضوعة عند مركز الوشيعة باعتبار أنّ المركبة الأفقية للحقل المغناطيسي الأرضي تساوي $B_H=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{T}$.

   العلاقة

   قبل إمرار التيّار تستقرّ الإبرة وفق منحى $\overrightarrow{B_H}$. ومحور الوشيعة أفقيٌّ يعامد خطّ الزوال، فحقلها $\vec{B}$ في مركزها أفقيٌّ وعموديٌّ على $\overrightarrow{B_H}$. بعد إمرار التيّار تدور الإبرة بزاوية $\theta$ لتستقرّ وفق منحى محصّلة الحقلين المتعامدين:

   $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{B}{B_H}}$$

   التعويض

   مع $B=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{T}$ من الطلب الأوّل:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \tan \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}}}}\\ {\displaystyle \tan \theta \approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->5}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\theta \approx {\mathrm{4<!--\; -->5}}^{\circ }$$

   أي نحو ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$. والزاوية ليست صغيرة، فلا نأخذها مساويةً لظلّها.

3. 3. إذا أجرينا اللفَّ بالجهة نفسها على أسطوانةٍ فارغةٍ من مادّة عازلةٍ باستخدام سلك معزول قطره $2\mathrm{m}\mathrm{m}$ بلفّات متلاصقة، احسب عدد طبقات الوشيعة.

   العلاقة

   نلفّ الطبقات بعضها فوق بعض على طول الوشيعة نفسه، وفي كلّ طبقةٍ العدد نفسه $N^{\mathrm{\prime }}$ من اللفّات، فعدد الطبقات:

   $$n={\displaystyle \frac{N}{N^{\mathrm{\prime }}}}$$

   العلاقة

   اللفّات متلاصقة، فكلّ لفّةٍ تشغل من طول الوشيعة قطر السلك $2r^{\mathrm{\prime }}$:

   $$N^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{l}{2r^{\mathrm{\prime }}}}$$

   التعويض

   مع $2r^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{m}\mathrm{m}=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{m}$:

   $$N^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}}$$

   الجواب

   $$N^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}$$

   لفّة في كلّ طبقة.

   التعويض

   $$n={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}}}$$

   الجواب

   $$n=2$$

   طبقتان.

4. 4. نضع داخل الوشيعة في مركزها حلقةً دائريّةً مساحتها $2\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ بحيث يصنع النَّاظم على سطح الحلقة مع محور الوشيعة زاوية ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$. احسب التدفقَ المغناطيسيّ عبر الحلقة الناتج عن تيار الوشيعة.

   العلاقة

   الحقل داخل الوشيعة منتظمٌ يوازي محورها، فالزاوية $\alpha$ بين $\vec{B}$ والناظم على سطح الحلقة هي الزاوية بين الناظم والمحور. والحلقة لفّةٌ واحدة، $N=1$:

   $$\bar{\mathrm{\Phi }}=Bs\cos \alpha$$

   التعويض

   مع $B=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{T}$ من الطلب الأوّل، و$s=2\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$، و$\cos {\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\mathrm{\Phi }}=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\times 2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle \bar{\mathrm{\Phi }}=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->0}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{\mathrm{\Phi }}\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}\mathrm{W}\mathrm{b}$$