المسألة الثامنة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب كلّاً من سرعة المركبة وطولها وعرضها في أثناء الرحلة،

   العلاقة

   المطلوب وفق قياسات المحطّة الأرضيّة، كما في آخر السؤال. أجهزة المركبة تقيس زمن الرحلة بساعةٍ ترافقها، وساعتها ساكنةٌ بالنسبة إليها، فهذا هو الزمن $t_0=\frac{8}{\sqrt{3}}\mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}$. والمسافة بين الأرض والنجم، وهما يتحرّكان بالنسبة إليها، تجدها متقلّصةً $d=4$ سنواتٍ ضوئيّة، كما في الصفحة 54:

   $$v={\displaystyle \frac{d}{t_0}}$$

   التعويض

   السنة الضوئيّة المسافة التي يقطعها الضوء في سنة، فـ $d=4c\times 1\mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}$:

   $$v={\displaystyle \frac{4c\times 1\mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}}{\frac{8}{\sqrt{3}}\mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}c$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle v={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\times 3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8}\\ {\displaystyle v\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   أي $v=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}\sqrt{3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$.

   العلاقة

   معامل لورينتس:

   $$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}}$$

   التعويض

   مع ${\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$:

   $$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{3}{4}}}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}}=2$$

   العلاقة

   طول المركبة $L_0=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{m}$ يقيسه من فيها، وهي ساكنةٌ بالنسبة إليه، والمراقب الأرضيّ يقيسه أقصر في منحى السرعة:

   $$L={\displaystyle \frac{L_0}{\gamma }}$$

   التعويض

   $$L={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{2}}$$

   الجواب

   $$L=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{m}$$

   العلاقة

   التقلّص في منحى السرعة وحده، والعرض عموديٌّ على السرعة، فلا يتغيّر: العرض $a$ عند المحطّة هو العرض الذي يقيسه من في المركبة.

   الجواب

   $$a=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{m}$$

2. 2. والمسافة التي قطعتها وزمن الرحلة وفق قياسات المحطَّة الأرضيَّة.

   العلاقة

   الأرض والنجم ساكنان بالنسبة للمحطّة الأرضيّة، فقياس المسافة بينهما عندها هو الطول عند المراقب الساكن بالنسبة للشيء المقيس، $d_0$، والمركبة تقيسها أقصر، $d=\frac{d_0}{\gamma }$:

   $$d_0=\gamma d$$

   التعويض

   $$d_0=2\times 4=8$$

   الجواب

   المسافة وفق قياسات المحطّة الأرضيّة $d_0=8$ سنواتٍ ضوئيّة، ضعف ما سجّلته أجهزة المركبة.

   العلاقة

   زمن الرحلة عند المحطّة الأرضيّة أطول من الزمن $t_0$ الذي تقيسه ساعة المركبة:

   $$t=\gamma t_0$$

   التعويض

   $$t=2\times {\displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}}}$$

   الجواب

   $$t={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->6}}{\sqrt{3}}}\approx \mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}$$

   وللتحقّق: ${\displaystyle \frac{d_0}{t}}={\displaystyle \frac{8}{\mathrm{1<!--\; -->6}\mathrm{/}\sqrt{3}}}c={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}c$، السرعة نفسها.