المسألة 26 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. $\text{1<!-- -->a}$. نربط بين نقطتين $(a,b)$ على التسلسل مقاومة صرفة $R=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$ ووشيعة مقاومتها الأوميّة $r=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$ وممانعتها $\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$ المطلوب: احسب الممانعة الكلِّيَّة والشدَّة المنتجة المارَّة في الدارة.

   العلاقة

   ردّيّة الوشيعة من مثلّث ممانعتها، ثمّ الممانعة الكلّيّة، والمقاومة الكلّيّة للدارة $R+r$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L=\sqrt{Z_L^2-r^2}}\\ {\displaystyle Z=\sqrt{(R+r{)}^2+X_L^2}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L=\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}-\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}=\mathrm{1<!--\; -->0}\sqrt{3}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle Z=\sqrt{\mathrm{9<!--\; -->0<!--\; -->0}+\mathrm{3<!--\; -->0<!--\; -->0}}=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0<!--\; -->0}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$Z=\mathrm{2<!--\; -->0}\sqrt{3}\approx \mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->.<!--\; -->6}\mathrm{\Omega }$$

   العلاقة

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{Z}}$$

   التعويض

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}\sqrt{3}}{\mathrm{2<!--\; -->0}\sqrt{3}}}$$

   الجواب

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=2\mathrm{A}$$

2. $\text{1<!-- -->b}$. احسب الاستطاعة المتوسِّطة المصروفة في الجملة وعامل استطاعتها.

   العلاقة

   لا تستهلك الاستطاعةَ إلّا المقاومتان:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=(R+r)I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{R+r}{Z}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{3<!--\; -->0}\times 4}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->0}}{\mathrm{2<!--\; -->0}\sqrt{3}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\mathrm{W}}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->7}}\end{array}$$

3. $\text{1<!-- -->c}$. احسب الطاقة الحراريَّة المنتشرة عن المقاومة الصرفة خلال زمن $\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$، واكتب تابع التوتُّر اللحظيّ بين طرفي المقاومة الصرفة.

   العلاقة

   الطاقة الحراريّة بفعل جول في المقاومة الصرفة خلال الزمن $t$:

   $$E=R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{2}t$$

   التعويض

   مع $t=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{s}$:

   $$E=\mathrm{2<!--\; -->0}\times 4\times \mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}$$

   الجواب

   $$E=\mathrm{4<!--\; -->8<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{J}=\mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->8}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4\mathrm{J}$$

   العلاقة

   توتّر المقاومة الصرفة على توافقٍ مع الشدّة، وقيمته المنتجة:

   $$U_R=R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{2<!--\; -->0}\times 2=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{V}$$

   الجواب

   نأخذ الطور الابتدائيّ للشدّة صفراً لأنّ المسألة لا تحدّده، و$\omega =2\pi f=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $${\bar{u}}_R=\mathrm{4<!--\; -->0}\sqrt{2}\cos \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t$$

   حيث ${\bar{u}}_R$ بالفولت و$t$ بالثانية. ولو أخذنا التوتّر بين $(a,b)$ مرجعاً للطور لكانت الشدّة متأخّرةً عنه بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$، لأنّ $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$، ولصار ${\bar{u}}_R=\mathrm{4<!--\; -->0}\sqrt{2}\cos (\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$.

4. $\text{2<!-- -->a}$. نعيد وصل الوشيعة على التفرُّع مع المقاومة الصرفة بين النقطتين السابقتين $(a,b)$ المطلوب: احسب قيمة الشدَّة المنتجة للتيَّار المارّ في الدارة الأصليَّة قبل التفرُّع باستخدام إنشاء فرينل.

   إنشاء فرينل

   الفرعان على التفرّع تحت التوتّر نفسه، فنتّخذ حامله محوراً مرجعيّاً. شدّة المقاومة على توافقٍ معه، وشدّة الوشيعة متأخّرةٌ عنه بالزاوية ${\bar{\phi }}_L$ حيث $\cos {\bar{\phi }}_L={\displaystyle \frac{r}{Z_L}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{2<!--\; -->0}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$، أي ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$:

   العلاقة

   شدّتا الفرعين من قانون أوم، ثمّ الشدّة الأصليّة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{R}}}\\ {\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{Z_L}}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2+I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}^2}\\ {\displaystyle +2I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}{I}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}\sqrt{3}}{\mathrm{2<!--\; -->0}}}}\\ {\displaystyle =2\sqrt{3}\mathrm{A}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=\mathrm{1<!--\; -->2}+\mathrm{1<!--\; -->2}}\\ {\displaystyle +2\times \mathrm{1<!--\; -->2}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{3<!--\; -->6}}\end{array}$$

   الجواب

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=6\mathrm{A}$$

5. $\text{2<!-- -->b}$. احسب قيمة الاستطاعة المتوسِّطة المستهلكة في جملة الفرعين وقيمة عامل الاستطاعة عندئذ.

   العلاقة

   تستهلك الاستطاعةَ المقاومةُ الصرفة ومقاومةُ الوشيعة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=R{I}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2+r{I}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}^2}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}}{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{2<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->2}+\mathrm{1<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->2}}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->6<!--\; -->0}}{\mathrm{4<!--\; -->0}\sqrt{3}\times 6}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{3<!--\; -->6<!--\; -->0}\mathrm{W}}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->7}}\end{array}$$

   وفي إنشاء فرينل شعاعا الفرعين متساويا الطويلة، فالشعاع المحصّل ينصّف الزاوية بينهما ويتأخّر عن التوتّر بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$، و$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.