المسألة 25 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب القيمة للشدَّة المنتجة للتيار وتواتره.

   العلاقة

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=3\mathrm{A}}\\ {\displaystyle f={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }{2\pi }}=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}}\end{array}$$

2. 2. احسب كلّاً من المقاومة الأوميّة للوشيعة $R^{\mathrm{\prime }}$ وممانعتها.

   العلاقة

   عامل استطاعة الوشيعة نسبة مقاومتها إلى ممانعتها، وردّيّتها الضلع الأخرى في مثلّث ممانعتها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \cos {\bar{\phi }}_L={\displaystyle \frac{R^{\mathrm{\prime }}}{Z_L}}}\\ {\displaystyle \sin {\bar{\phi }}_L={\displaystyle \frac{X_L}{Z_L}}}\end{array}$$

   التعويض

   $\cos {\bar{\phi }}_L=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}$، فـ $\sin {\bar{\phi }}_L=\sqrt{1-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->4}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_L={\displaystyle \frac{X_L}{\sin {\bar{\phi }}_L}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->0}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}}}}\\ {\displaystyle R^{\mathrm{\prime }}=Z_L\cos {\bar{\phi }}_L=\mathrm{5<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_L=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle R^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

   وللتحقّق: $\sqrt{{\mathrm{4<!--\; -->0}}^2+{\mathrm{3<!--\; -->0}}^2}=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$.

3. $\text{3<!-- -->a}$. إذا علمت أنَّ فرق الكمون المنتج بين طرفي المقاومة يساوي نصف فرق الكمون المنتج بين طرفي الوشيعة، فاحسب كلَّ من: المقاومة الصرفة $R$.

   العلاقة

   المقاومة والوشيعة على التسلسل، فالشدّة المنتجة واحدة فيهما:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_R={\displaystyle \frac{1}{2}}{U}_L}\\ {\displaystyle R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{Z}_L{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$R={\displaystyle \frac{Z_L}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5<!--\; -->0}}{2}}=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{\Omega }$$

4. $\text{3<!-- -->b}$. الاستطاعة المستهلكة فيها.

   العلاقة

   $$P_R=R{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2$$

   التعويض

   $$P_R=\mathrm{2<!--\; -->5}\times 3^2$$

   الجواب

   $$P_R=\mathrm{2<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{W}$$

5. $\text{3<!-- -->c}$. احسب الاستطاعة المستهلكة في الدارة.

   العلاقة

   لا تستهلك الاستطاعةَ إلّا المقاومتان:

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=(R+R^{\mathrm{\prime }})I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2$$

   التعويض

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=(\mathrm{2<!--\; -->5}+\mathrm{4<!--\; -->0})\times 9$$

   الجواب

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{5<!--\; -->8<!--\; -->5}\mathrm{W}$$

6. $\text{4}$. نضيف بين طرفي المأخذ السابق على التسلسل مع المقاومة $R$ والوشيعة مكثِّفة سعتها $C$ فتبقى الشدَّة المنتجة للتيَّار نفسها، احسب قيمة سعة هذه المكثِّفة.

   العلاقة

   التوتّر المنتج ثابت والشدّة المنتجة لم تتغيّر، فالممانعة الكلّيّة لم تتغيّر. قبل المكثّفة وبعدها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z^2=(R+R^{\mathrm{\prime }}{)}^2+X_L^2}\\ {\displaystyle Z^{\mathrm{\prime }2}=(R+R^{\mathrm{\prime }}{)}^2+(X_L-X_C{)}^2}\end{array}$$

   التعويض

   $Z^{\mathrm{\prime }}=Z$ يعطي $(X_L-X_C{)}^2=X_L^2$، أي $X_L-X_C=-X_L$، لأنّ $X_C=0$ يعني ألّا مكثّفة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_C=2X_L=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle C={\displaystyle \frac{1}{X_C\omega }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\approx \mathrm{5<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{F}$$

7. $\text{5}$. نضيف إلى المكثِّفة $C$ في الدارة السابقة مكثِّفة $C^{\mathrm{\prime }}$ تجعل الشدَّة على توافق بالطور مع التوتُّر المطبق. احسب السعة المكافئة للمكثِّفتين وحدِّد طريقة الضمّ، واحسب سعة المكثِّفة المضافة $C^{\mathrm{\prime }}$.

   العلاقة

   تصير الشدّة على توافقٍ مع التوتّر في حالة الطنين، حين تساوي اتّساعيّة المكثّفتين معاً ردّيّة الوشيعة، ولهما سعةٌ مكافئة $C_{eq}$:

   $${\displaystyle \frac{1}{C_{eq}\omega }}=X_L$$

   التعويض

   $$C_{eq}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}$$

   الجواب

   $$C_{eq}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{F}$$

   العلاقة

   المكثّفتان على التفرّع بين طرفيهما التوتّر نفسه، وشدّة كلٍّ منهما متقدّمةٌ عليه بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، فالشدّتان على توافقٍ بالطور: شعاعاهما في إنشاء فرينل على حاملٍ واحد وبالاتّجاه نفسه. فتُجمع شدّتاهما المنتجتان هنا جمعاً عاديّاً، مع أنّ شدّات الفروع لا تُجمع عادةً إلّا جمعاً شعاعيّاً: $U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{C}_{eq}\omega =U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}C\omega +U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{C}^{\mathrm{\prime }}\omega$. ومنها السعة المكافئة لمكثّفتين على التفرّع:

   $$C_{eq}=C+C^{\mathrm{\prime }}$$

   العلاقة

   نقارنها بسعة المكثّفة الأولى $C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}$:

   $$C_{eq}>C$$

   الجواب

   الضمّ على التفرّع يعطي سعةً أكبر من سعة كلٍّ من المكثّفتين، كما تُظهر العلاقة السابقة، والضمّ على التسلسل يعطي سعةً أصغر، لأنّ الشدّة فيهما واحدة والتوتّران يُجمعان، فـ ${\displaystyle \frac{1}{C_{eq}}}={\displaystyle \frac{1}{C}}+{\displaystyle \frac{1}{C^{\mathrm{\prime }}}}$؛ فالضمّ هنا على التفرّع.

   التعويض

   $$C^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}$$

   الجواب

   $$C^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\approx \mathrm{5<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{F}$$

   أي مكثّفةٌ مماثلةٌ للأولى.