المسألة 24 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب فرق الكمون المنتج بين النقطتين وتواتر التيّار

   العلاقة

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle f={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }{2\pi }}=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}}\end{array}$$

2. 2. نصل $(a,b)$ بمقاومة صرف $(\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{\Omega })$ اكتب تابع شدّة التيّار في هذه المقاومة.

   العلاقة

   شدّة المقاومة الصرفة على توافقٍ مع التوتّر:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{R}}}\\ {\displaystyle {\bar{i}}_R=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}\sqrt{2}\cos \omega t}\end{array}$$

   التعويض

   $$I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{5<!--\; -->0}}}=2\mathrm{A}$$

   الجواب

   $${\bar{i}}_R=2\sqrt{2}\cos \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t$$

   حيث ${\bar{i}}_R$ بالأمبير و$t$ بالثانية.

3. 3. نصل $(a,b)$ بفرع آخر يحوي على تسلسل مقاومة صرف $(\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{\Omega })$ مع مكثِّفة سعتها $C$ فيمرّ تيّار قيمة شدّته المنتجة $\sqrt{2}\mathrm{A}$، اكتب التابع الزمني للتيَّار المارّ فيه واحسب سعة المكثِّفة $C$.

   العلاقة

   الفرع الثاني تحت توتّر النقطتين نفسه؛ ممانعته من قانون أوم، والمقاومة والمكثّفة فيه على التسلسل:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_2={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}}}}\\ {\displaystyle Z_2^2=R^2+X_C^2}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_2={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\sqrt{2}}}=\mathrm{5<!--\; -->0}\sqrt{2}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle X_C^2=\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}-\mathrm{2<!--\; -->5<!--\; -->0<!--\; -->0}}\\ {\displaystyle X_C=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

   العلاقة

   شدّة الفرع متقدّمةٌ على التوتّر بزاويةٍ ${\bar{\phi }}_2$ جيب تمامها ${\displaystyle \frac{R}{Z_2}}$، والسعة من الاتّساعيّة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \cos {\bar{\phi }}_2={\displaystyle \frac{R}{Z_2}}}\\ {\displaystyle C={\displaystyle \frac{1}{X_C\omega }}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \cos {\bar{\phi }}_2={\displaystyle \frac{\mathrm{5<!--\; -->0}}{\mathrm{5<!--\; -->0}\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle {\bar{\phi }}_2={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\\ {\displaystyle C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{5<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\bar{i}}_2=2\cos (\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}\\ {\displaystyle C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\approx \mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{F}}\end{array}$$

   القيمة العظمى للشدّة $\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2\mathrm{A}$، و${\bar{i}}_2$ بالأمبير و$t$ بالثانية.

4. 4. احسب قيمة الشدِّة المنتجة للتيَّار في الدارة الأصليَّة باستخدام إنشاء فرينل.

   إنشاء فرينل

   نرسم شعاع شدّة المقاومة على حامل التوتّر، ثمّ من رأسه شعاع شدّة الفرع الثاني متقدّماً بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. وشعاع الشدّة الأصليّة يمتدّ من مبدأ الشعاع الأوّل إلى رأس الثاني:

   العلاقة

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}^2+I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}^2}\\ {\displaystyle +2I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}{I}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=4+2}\\ {\displaystyle +2\times 2\times \sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\mathrm{1<!--\; -->0}}\end{array}$$

   الجواب

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}\approx \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\mathrm{A}$$

5. 5. احسب ذاتيَّة الوشيعة المهملة المقاومة الواجب ربطها على التفرُّع بين النقطتين $(a,b)$ لتصبح شدَّة التيَّار الأصليَّة على وفاق بالطّور مع فرق الكمون المطبق عندما تعمل الفروع الثلاثة معاً ثمَّ احسب قيمة الشدَّة المنتجة الأصليَّة للتيَّار.

   العلاقة

   شدّة الوشيعة المهملة المقاومة متأخّرةٌ عن التوتّر بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، فتلغي مركّبة شدّة الفرع الثاني العموديّة على حامل التوتّر إذا ساوتها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\\ {\displaystyle X_L={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}}}}\\ {\displaystyle L={\displaystyle \frac{X_L}{\omega }}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}=\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=1\mathrm{A}}\\ {\displaystyle X_L={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{1}}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle L={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$L={\displaystyle \frac{1}{\pi }}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->1<!--\; -->8}\mathrm{H}$$

   العلاقة

   الشدّة الأصليّة الجديدة مجموع مركّبتي الشدّتين على حامل التوتّر:

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_R}+I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$

   التعويض

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=2+\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

   الجواب

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=3\mathrm{A}$$

   وللتحقّق: الاستطاعة المستهلكة في المقاومتين $\mathrm{5<!--\; -->0}\times 2^2+\mathrm{5<!--\; -->0}\times (\sqrt{2}{)}^2=\mathrm{3<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{W}$، وهي $U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 3$ لأنّ عامل الاستطاعة صار $1$.