المسألة 23 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتج قيمة كلٍّ من $I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}$، $I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}$ باستخدام إنشاء فرينل.

   إنشاء فرينل

   شعاع الشدّة الأصليّة على حامل التوتّر لأنّها على توافقٍ معه، وهو مجموع شعاعي شدّتي الفرعين: الأوّل متقدّمٌ عليه بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$، والثاني متأخّرٌ عنه بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. فالزاوية بين شعاعي الفرعين ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، والمثلّث قائم:

   العلاقة

   في المثلّث القائم الشدّة الأصليّة هي الوتر، وشدّتا الفرعين ضلعا القائمة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}=I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\\ {\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}=I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}}\end{array}$$

   التعويض

   الشدّة الأصليّة المنتجة من تابعها، $I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{\sqrt{2}}}=\mathrm{1<!--\; -->0}\sqrt{2}\mathrm{A}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}=\mathrm{1<!--\; -->0}\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}=\mathrm{1<!--\; -->0}\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->7}\mathrm{A}}\\ {\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}=5\sqrt{6}\approx \mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{A}}\end{array}$$

   وللتحقّق: المركّبتان العموديّتان على حامل التوتّر متساويتان ومتعاكستان، $5\sqrt{2}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=5\sqrt{6}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\approx \mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2}\mathrm{A}$.

2. 2. إذا كانت قيمة المقاومة في الفرع الأول $\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$ احسب ممانعة هذا الفرع واتساعيَّة المكثِّفة فيه.

   العلاقة

   الفرع الأوّل تحت توتّر المأخذ نفسه، والمقاومة والمكثّفة فيه على التسلسل:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_1={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}}}}\\ {\displaystyle X_C=\sqrt{Z_1^2-R^2}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_1={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle X_C=\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0}-\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}=\sqrt{\mathrm{3<!--\; -->0<!--\; -->0}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_1=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle X_C=\mathrm{1<!--\; -->0}\sqrt{3}\approx \mathrm{1<!--\; -->7<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

   وللتحقّق: $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{R}{Z_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\mathrm{2<!--\; -->0}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$، كما في نصّ المسألة.

3. 3. إذا كانت رديّة الوشيعة في الفرع الثاني ${\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{\sqrt{3}}}\mathrm{\Omega }$ احسب مقاومة الوشيعة.

   العلاقة

   الوشيعة تحت توتّر المأخذ، وشدّتها متأخّرةٌ عن توتّرها بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$، فعامل استطاعتها $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_2={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}}}}\\ {\displaystyle r=Z_2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_2={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\sqrt{2}}{5\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{\sqrt{3}}}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle r={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{\sqrt{3}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$r=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$$

   وبالردّيّة المعطاة: $\sqrt{r^2+X_L^2}=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}+\frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{3}}=\frac{\mathrm{2<!--\; -->0}}{\sqrt{3}}\mathrm{\Omega }$، أي $Z_2$ نفسها.