المسألة 22 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب الشدَّة المنتجة للتيّار في كلٍّ من الفرعين، واكتب تابع الشدَّة اللحظيَّة في كلٍّ منهما.

   العلاقة

   طاقة التسخين كلّها حرارةٌ يكتسبها الماء، لأنّ المردود $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{\%}$، فاستطاعة الجهاز:

   $$P_1={\displaystyle \frac{m{c}_0\mathrm{\Delta }\theta }{t}}$$

   التعويض

   مع $\mathrm{\Delta }\theta ={\mathrm{7<!--\; -->2}}^{\circ }\mathrm{C}$ و$t=7\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=\mathrm{4<!--\; -->2<!--\; -->0}\mathrm{s}$:

   $$P_1={\displaystyle \frac{1\times \mathrm{4<!--\; -->2<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{7<!--\; -->2}}{\mathrm{4<!--\; -->2<!--\; -->0}}}=\mathrm{7<!--\; -->2<!--\; -->0}\mathrm{W}$$

   العلاقة

   التوتّر المنتج $U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\mathrm{V}$. جهاز التسخين ذاتيّته مهملة، فهو مقاومةٌ صرفة عامل استطاعتها $1$، وعامل استطاعة المحرّك ${\displaystyle \frac{1}{2}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_1=U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}}\\ {\displaystyle P_2=U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}\cos {\bar{\phi }}_2}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}={\displaystyle \frac{\mathrm{7<!--\; -->2<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}}=6\mathrm{A}}\\ {\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}={\displaystyle \frac{\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}}=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{A}}\end{array}$$

   الجواب

   شدّة جهاز التسخين على توافقٍ مع التوتّر، وشدّة المحرّك متأخّرةٌ عنه بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ لأنّ $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\bar{i}}_1=6\sqrt{2}\cos \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t}\\ {\displaystyle {\bar{i}}_2=\mathrm{1<!--\; -->0}\sqrt{2}\cos (\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})}\end{array}$$

   حيث الشدّة بالأمبير و$t$ بالثانية. ومقاومة جهاز التسخين $R={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}{6}}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$.

2. 2. احسب الشدَّة المنتجة الكلِّيَّة باستخدام إنشاء فرينل، واحسب عامل استطاعة الدارة.

   إنشاء فرينل

   نرسم شعاع شدّة جهاز التسخين على حامل التوتّر، ثمّ من رأسه شعاع شدّة المحرّك متأخّراً بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. وشعاع الشدّة الكلّيّة يمتدّ من مبدأ الشعاع الأوّل إلى رأس الثاني:

   العلاقة

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}^2+I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}^2}\\ {\displaystyle +2I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}{I}_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=\mathrm{3<!--\; -->6}+\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}\\ {\displaystyle +2\times 6\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{1<!--\; -->9<!--\; -->6}}\end{array}$$

   الجواب

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{1<!--\; -->4}\mathrm{A}$$

   العلاقة

   الاستطاعة الكلّيّة مجموع استطاعتي الفرعين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P=P_1+P_2}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{P}{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P=\mathrm{7<!--\; -->2<!--\; -->0}+\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}=\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->2<!--\; -->0}\mathrm{W}}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->2<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->4}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->1}}{\mathrm{1<!--\; -->4}}}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->9}$$

3. 3. احسب سعة المكثِّفة التي إذا ضمَّت أيضاً على التفرُّع في الدارة جعلت الشدَّة الكلُّيَّة متَّفقة بالطور مع فرق الكمون المطبق عندما تعمل الأجهزة جميعاً، واحسب قيمة الشدَّة المنتجة في الدارة الأصليَّة عندئذ.

   العلاقة

   شدّة المكثّفة متقدّمةٌ على التوتّر بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، فتصير الشدّة الكلّيّة على توافقٍ مع التوتّر إذا ألغت مركّبة شدّة المحرّك العموديّة على حامل التوتّر:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\\ {\displaystyle X_C={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}}}}\\ {\displaystyle C={\displaystyle \frac{1}{X_C\omega }}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}=\mathrm{1<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=5\sqrt{3}\approx \mathrm{8<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->6}\mathrm{A}}\\ {\displaystyle X_C={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}{5\sqrt{3}}}=8\sqrt{3}\approx \mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->.<!--\; -->9}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle C={\displaystyle \frac{1}{8\sqrt{3}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$C\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{F}$$

   العلاقة

   المكثّفة لا تستهلك استطاعةً، والشدّة الأصليّة الجديدة مجموع مركّبتي شدّتي الجهازين على حامل التوتّر:

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_1}+I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_2}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$

   التعويض

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=6+\mathrm{1<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   الجواب

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->1}\mathrm{A}$$

   وللتحقّق: $U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->1}=\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->2<!--\; -->0}\mathrm{W}$، أي الاستطاعة نفسها، وعامل الاستطاعة صار $1$.

4. 4. نستعمل التوتَّر السابق لتغذية دارة تتألَّف من فرعين يحوي أحدهما المكثِّفة السابقة ويحوي الآخر وشيعة مهملة المقاومة، احسب ردية الوشيعة التي تنعدم من أجلها شدَّة التيَّار في الدارة الأصليّة باستخدام إنشاء فرينل

   إنشاء فرينل

   التوتّر نفسه على الفرعين، فنتّخذ حامله محوراً مرجعيّاً. شدّة المكثّفة متقدّمةٌ عليه بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، وشدّة الوشيعة المهملة المقاومة متأخّرةٌ عنه بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، فالشعاعان على حاملٍ واحد بجهتين متعاكستين:

   العلاقة

   تنعدم الشدّة في الدارة الأصليّة إذا تساوت طويلتا الشعاعين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_L}=I_{{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}_C}}\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{X_L}}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{X_C}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$X_L=X_C=8\sqrt{3}\approx \mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->.<!--\; -->9}\mathrm{\Omega }$$

   وذاتيّة الوشيعة عندئذٍ $L={\displaystyle \frac{X_L}{\omega }}\approx \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{H}$، وتحقّق $LC{\omega }^2=1$.