المسألة 21 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. ندير الملفّ بدءاً من وضع توازنه المستقر بزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ خلال $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{s}$ احسب شدَّة التيّار المتحرِّض في الملفّ حيث المقاومة الكلِّيَّة للدارة $5\mathrm{\Omega }$.

   العلاقة

   في البدء خطوط الحقل ناظميّة على مستوي الملفّ، أي توازي ناظمه، فالتدفّق أعظميّ. وبعد الدوران بزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ يصير الحقل موازياً لمستوي الملفّ فينعدم التدفّق:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\bar{\mathrm{\Phi }}}_1=NBs{\bar{\mathrm{\Phi }}}_2=0}\\ {\displaystyle \mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\bar{\mathrm{\Phi }}\mathrm{\mid }=NBs}\end{array}$$

   التعويض

   مساحة اللفّة $s=\pi r^2=\mathrm{1<!--\; -->6}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\bar{\mathrm{\Phi }}\mathrm{\mid }=\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}\times \mathrm{1<!--\; -->6}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle \mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\bar{\mathrm{\Phi }}\mathrm{\mid }=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{W}\mathrm{b}}\end{array}$$

   العلاقة

   القيمة المتوسّطة للقوّة المحرّكة الكهربائيّة المتحرّضة، ثمّ الشدّة من قانون أوم:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\bar{\mathrm{\Phi }}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\Delta }t}}}\\ {\displaystyle i={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }}{R}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}}}}\\ {\displaystyle \mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->9<!--\; -->2}\pi \approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->0<!--\; -->3}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle i={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->9<!--\; -->2}\pi }{5}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$i=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->1}\mathrm{A}$$

   هذه هي الشدّة المتوسّطة خلال $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{s}$. وجهة التيّار المتحرّض بحسب قانون لنز: حقله المتحرّض يعاكس تناقص التدفّق.

2. $\text{2<!-- -->a}$. نستبدل سلك التعليق السابق بمحور دوران شاقوليّ ثمَّ ندير الملفّ بسرعة زاوية ثابتة تقابل ${\displaystyle \frac{2}{\pi }}\mathrm{H}\mathrm{z}$ المطلوب: استنتج بالرموز العلاقة المحدِّدة للقيمة الجبريَّة للقوَّة المحرِّكة الكهربائيَّة المتحرِّضة المتناوبة الجيبيَّة ثمَّ اكتب التابع الزمنيَّ لكلٍّ من هذه القوَّة والتيّار المتحرِّض المتناوب الجيبيّ.

   العلاقة

   نختار مبدأ الزمن لحظةَ يكون الحقل ناظميّاً على مستوي الملفّ، أي موازياً لناظمه، فالزاوية بينهما $\omega t$، والتدفّق ثمّ القوّة المحرّكة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\mathrm{\Phi }}=NBs\cos \omega t}\\ {\displaystyle \bar{\epsilon }=-{\displaystyle \frac{d\bar{\mathrm{\Phi }}}{dt}}=NBs\omega \sin \omega t}\end{array}$$

   التعويض

   مع $\omega =2\pi f=2\pi \times {\displaystyle \frac{2}{\pi }}=4\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ و$NBs=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{W}\mathrm{b}$ من الطلب الأوّل:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\epsilon }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=NBs\omega }\\ {\displaystyle =\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->4}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times 4}\\ {\displaystyle {\epsilon }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->5<!--\; -->3<!--\; -->6}\pi \approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->8<!--\; -->3}\mathrm{V}}\end{array}$$

   العلاقة

   والمقاومة الكلّيّة للدارة $R=5\mathrm{\Omega }$ كما في الطلب الأوّل:

   $$\bar{i}={\displaystyle \frac{\bar{\epsilon }}{R}}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\epsilon }=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->8<!--\; -->3}\sin 4t}\\ {\displaystyle \bar{i}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->6<!--\; -->5}\sin 4t}\end{array}$$

   حيث $\bar{\epsilon }$ بالفولت و$\bar{i}$ بالأمبير و$t$ بالثانية. وبالقيم الدقيقة $\bar{\epsilon }=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->5<!--\; -->3<!--\; -->6}\pi \sin 4t$ و$\bar{i}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->0<!--\; -->7<!--\; -->2}\pi \sin 4t$.

3. $\text{2<!-- -->b}$. احسب طول سلك الملفّ.

   العلاقة

   طول كلّ لفّةٍ محيط دائرةٍ نصف قطرها الوسطيّ $r$، والملفّ $N$ لفّة:

   $$l=N\times 2\pi r$$

   التعويض

   $$l=\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 2\pi \times 4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}$$

   الجواب

   $$l=\mathrm{4<!--\; -->8}\pi \approx \mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->1}\mathrm{m}$$