المسألة 20 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتج العلاقة المحدِّدة لسرعة الساق واحسب قيمتها.

   العلاقة

   خلال $\mathrm{\Delta }t$ تنتقل الساق $v\mathrm{\Delta }t$، فتمسح سطحاً $Lv\mathrm{\Delta }t$ يعامده الحقل، حيث $L$ طول الساق، والساق عموديّةٌ على كلٍّ من الحقل والسرعة؛ فيكون التدفّق الذي تقطعه وقيمة القوّة المحرّكة المتحرّضة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=BLv\mathrm{\Delta }t}\\ {\displaystyle \epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}=BLv}\end{array}$$

   العلاقة

   الساق ليست في دارةٍ مغلقة، فلا يمرّ فيها تيّار، وفرق الكمون $U$ بين طرفيها يساوي القوّة المحرّكة المتحرّضة:

   $$U=BLvv={\displaystyle \frac{U}{BL}}$$

   التعويض

   مع $L=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\mathrm{m}$:

   $$v={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}}}$$

   الجواب

   $$v=1\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. $\text{2<!-- -->a}$. نأخذ الساق النحاسيَّة ونعلِّقها من منتصفها ضمن منطقة الحقل السابق بنابض مرن شاقوليّ مهمل الكتلة ثابت صلابته $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$ ونمرِّر فيها تيَّاراً كهربائيّاً شدَّته $\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{A}$ فتتوازن الساق بعد أن يستطيل النابض بمقدار $\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ عن طوله الأصليّ: حدِّد على الرسم القوى الخارجيَّة المؤثِّرة على الساق.

   القوى

   ثلاث قوى: ثقل الساق $\vec{w}$ شاقوليّ نحو الأسفل؛ وقوّة توتّر النابض $\overrightarrow{F_s}$ شاقوليّة نحو الأعلى؛ والقوّة الكهرطيسيّة $\vec{F}=I\vec{L}\wedge \vec{B}$. في الرسم يخرج التيّار من القطب الموجب إلى الطرف الأيمن للساق، فيجري فيها من اليمين إلى اليسار، والحقل داخلٌ في مستوي الرسم، فتتّجه $\vec{F}$ بقاعدة اليد اليمنى شاقوليّاً نحو الأسفل:

   الجواب

   نقطة تأثير القوى الثلاث منتصف الساق: $\overrightarrow{F_s}$ نحو الأعلى، و$\vec{w}$ و$\vec{F}$ نحو الأسفل.

3. $\text{2<!-- -->b}$. استنتج بالرموز العلاقة المحدِّدة لكتلة الساق واحسب قيمتها.

   العلاقة

   الساق متوازنة، فمحصّلة القوى معدومة:

   $$\vec{w}+\overrightarrow{F_s}+\vec{F}=\vec{0}$$

   العلاقة

   بالإسقاط على محورٍ شاقوليٍّ موجّهٍ نحو الأعلى، مع $F_s=k{x}_0$ حيث $x_0$ استطالة النابض، و$F=ILB$ لأنّ الساق تعامد الحقل:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle k{x}_0-mg-ILB=0}\\ {\displaystyle m={\displaystyle \frac{k{x}_0-ILB}{g}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $x_0=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}$ و$g=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle k{x}_0=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{N}}\\ {\displaystyle ILB=\mathrm{2<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}=8\mathrm{N}}\\ {\displaystyle m={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0}-8}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$m=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{k}\mathrm{g}$$