المسألة التاسعة عشرة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب طول سلك الوشيعة، واحسب عدد الطبقات.

   العلاقة

   طول كلّ لفّةٍ محيط دائرةٍ نصف قطرها $r=2\mathrm{c}\mathrm{m}$، و${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ طول السلك:

   $${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=N\times 2\pi r$$

   التعويض

   $${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 2\pi \times 2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}$$

   الجواب

   $${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{4<!--\; -->0}\pi \approx \mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->5<!--\; -->.<!--\; -->7}\mathrm{m}$$

   العلاقة

   اللفّات متلاصقة، فكلّ لفّةٍ تشغل من طول الوشيعة $\mathrm{\ell }$ قطر السلك $2r^{\mathrm{\prime }}$، فعدد اللفّات في الطبقة الواحدة $N^{\mathrm{\prime }}$؛ والطبقات بعضها فوق بعض على طول الوشيعة نفسه، فعددها $n$:

   $$N^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2r^{\mathrm{\prime }}}}n={\displaystyle \frac{N}{N^{\mathrm{\prime }}}}$$

   التعويض

   مع $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\mathrm{m}$ و$2r^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\pi }{\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0}}}\mathrm{m}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle N^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\pi }}=\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}}\\ {\displaystyle n={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$n=5$$

   طبقات، في كلٍّ منها $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}$ لفّة.

2. 2. احسب ذاتيَّة الوشيعة.

   العلاقة

   ذاتيّة الوشيعة، و$s=\pi r^2$ مساحة مقطعها:

   $$L=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{N^{2}s}{\mathrm{\ell }}}$$

   التعويض

   مع $s=\pi \times (2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}{)}^2$، أي $4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle L=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\times {\displaystyle \frac{5}{2\pi }}}\\ {\displaystyle \times (\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}{)}^2\times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle L={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\end{array}$$

   الجواب

   $$L=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{H}$$

3. $\text{3<!-- -->a}$. نعلِّق الوشيعة من منتصفها بسلك شاقوليّ عديم الفتل ونجعل محورها أفقيّاً عموديّاً على خطوط حقل مغناطيسيّ منتظم أفقيّ شدّته ${\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{T}$ ونمرِّر فيها تيّاراً كهربائيّاً شدّته $4\mathrm{A}$. احسب قيمة عزم المزدوجة الكهرطيسيّة عندما تكون قد دارت بزاوية ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$.

   العلاقة

   عزم المزدوجة الكهرطيسيّة، و$\alpha$ الزاوية بين الحقل والناظم على مستوي اللفّات، أي محور الوشيعة:

   $${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=NIsB\sin \alpha$$

   التعويض

   في البدء يعامد المحورُ الحقلَ، ${\alpha }_1={\mathrm{9<!--\; -->0}}^{\circ }$، والوشيعة تدور نحو وضع التوازن المستقرّ؛ فبعد أن تدور ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$ تصير $\alpha ={\mathrm{9<!--\; -->0}}^{\circ }-{\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }={\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ }$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 4\times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times \sin {\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ }}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=8\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}}\end{array}$$

4. $\text{3<!-- -->b}$. احسب عمل المزدوجة الكهرطيسيّة المؤثِّرة في الوشيعة من لحظة مرور التيّار حتّى اللحظة التي تكون فيها قد دارت بزاوية ${\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ }$.

   العلاقة

   بنظريّة مكسويل، والتدفّق $\mathrm{\Phi }=NBs\cos \alpha$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle W=I\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}\\ {\displaystyle W=INBs(\cos {\alpha }_2-\cos {\alpha }_1)}\end{array}$$

   التعويض

   لحظة مرور التيّار ${\alpha }_1={\mathrm{9<!--\; -->0}}^{\circ }$، وبعد أن تدور ${\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ }$ تصير ${\alpha }_2={\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle W=4\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle \times (\cos {\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }-\cos {\mathrm{9<!--\; -->0}}^{\circ })}\\ {\displaystyle W=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}-0)}\end{array}$$

   الجواب

   $$W=8\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{J}$$

   العمل موجب، فالمزدوجة محرّكة.

5. $\text{4<!-- -->a}$. نقطع التيّار السابق عن الوشيعة وهي في وضع التَّوازن المستقرّ ثمَّ نديرها حول السلك الشاقوليِّ خلال $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{s}$ ليصبح محورها عموديّاً على خطوط الحقل المغناطيسيّ. احسب شدَّة التيّار المتحرِّض المتولِّد في الوشيعة.

   العلاقة

   في وضع التوازن المستقرّ يوازي المحورُ الحقلَ، ${\alpha }_1=0$، فالتدفّق أعظميّ؛ وبعد الدوران يعامد المحورُ الحقلَ، ${\alpha }_2={\mathrm{9<!--\; -->0}}^{\circ }$، فالتدفّق معدوم:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_1=NBs{\mathrm{\Phi }}_2=0}\\ {\displaystyle \mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\mathrm{\mid }=NBs}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\mathrm{\mid }=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle \mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\mathrm{\mid }=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{W}\mathrm{b}}\end{array}$$

   العلاقة

   بقانون فاراداي، القيمة المتوسّطة للقوّة المحرّكة المتحرّضة خلال $\mathrm{\Delta }t$، ثمّ الشدّة في الدارة المغلقة:

   $$\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\mathrm{\mid }}{\mathrm{\Delta }t}}i={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }}{R}}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}}=8\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle i={\displaystyle \frac{8\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{5}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$i=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\approx \mathrm{5<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{A}$$

   وهي الشدّة المتوسّطة خلال الدوران.

6. $\text{4<!-- -->b}$. احسب كمِّيَّة الكهرباء المتحرِّضة خلال الزمن السابق.

   العلاقة

   شدّة التيّار كمّيّة الكهرباء المارّة في واحدة الزمن، $i={\displaystyle \frac{q}{\mathrm{\Delta }t}}$:

   $$q=i\mathrm{\Delta }t$$

   التعويض

   $$q=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}$$

   الجواب

   $$q=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{C}$$

   وهي أيضاً $\frac{\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\mathrm{\mid }}{R}=\frac{4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{5}$، لا تتعلّق بزمن الدوران.

7. $\text{5}$. نعيد الوشيعة إلى وضع التوازن المستقرِّ ثمَّ ندخل بداخلها نواة حديدية عامل نفاذيتها المغناطيسيّ $\mathrm{5<!--\; -->0}$ احسب شدَّة الحقل المغناطيسيّ داخل النواة الحديديّة، واحسب قيمة التدفُّق المغناطيسيّ داخل الوشيعة.

   العلاقة

   التيّار مقطوع منذ الطلب الرابع، فالحقل الممغنط هو الحقل الخارجيّ $B={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{T}$، ومحور الوشيعة يوازيه في وضع التوازن المستقرّ. وعامل النفاذيّة المغناطيسيّ نسبة الحقل الكلّيّ بوجود النواة إلى الحقل الممغنط:

   $$\mu ={\displaystyle \frac{B_t}{B}}{B}_t=\mu B$$

   التعويض

   $$B_t=\mathrm{5<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}$$

   الجواب

   $$B_t=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{T}$$

   العلاقة

   الحقل الكلّيّ يوازي المحور، أي يعامد مستوي اللفّات، فـ $\alpha =0$:

   $$\mathrm{\Phi }=N{B}_{t}s\cos \alpha$$

   التعويض

   $$\mathrm{\Phi }=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times 4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\times 1$$

   الجواب

   $$\mathrm{\Phi }=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\pi \approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->2<!--\; -->8}\mathrm{W}\mathrm{b}$$

   خمسون ضعف التدفّق دون النواة، $4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{W}\mathrm{b}$.