المسألة الثامنة عشرة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. $\text{1<!-- -->a}$. نضع الوشيعة في منطقة يسودها حقل مغناطيسيّ ثابت المنحى وجهة خطوطه توازي محور الوشيعة، نزيد شدَّة هذا الحقل بانتظام خلال $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{s}$ من $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}\mathrm{T}$ إلى $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}\mathrm{T}$: حدِّد على الرسم جهة كلٍّ من الحقلين المغناطيسيّين المحرِّض والمتحرِّض في الوشيعة وعيِّن جهة التيّار المتحرِّض.

   العلاقة

   الحقل المحرِّض $\vec{B}$ يوازي محور الوشيعة وتزداد شدّته، فيتزايد التدفّق الذي يجتاز الوشيعة. وبقانون لنز يولّد التيّار المتحرّض حقلاً متحرّضاً $\overrightarrow{B^{\mathrm{\prime }}}$ يسعى لإنقاص هذا التدفّق، فجهته داخل الوشيعة بعكس جهة الحقل المحرّض.

   الرسم

   يخرج الحقل المتحرّض من الوجه الذي يدخل منه الحقل المحرّض، فهذا الوجه وجهٌ شماليّ، والوجه الآخر جنوبيّ:

   الجواب

   الحقل المتحرّض $\overrightarrow{B^{\mathrm{\prime }}}$ داخل الوشيعة بعكس جهة الحقل المحرّض $\vec{B}$. والتيّار المتحرّض يدور في الوجه الشماليّ (الأيسر في الرسم) بعكس جهة دوران عقارب الساعة كما يراه الناظر إلى هذا الوجه.

2. $\text{1<!-- -->b}$. احسب القيمة الجبريَّة لشدَّة التيّار الكهربائيّ المتحرِّض المارِّ في الوشيعة.

   العلاقة

   نختار الجهة الموجبة للدارة بحيث يكون الناظم على مستوي اللفّات بجهة الحقل المحرّض، فـ $\alpha =0$ ولا يتغيّر؛ يتغيّر $B$ وحده:

   $$\overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}=N\mathrm{\Delta }Bs\cos \alpha$$

   التعويض

   مع $\mathrm{\Delta }B=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2}\mathrm{T}$ و$s=\mathrm{2<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}=\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2}\times \mathrm{2<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle \overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{W}\mathrm{b}}\end{array}$$

   العلاقة

   الحقل يزداد بانتظام، فالقوّة المحرّكة المتحرّضة ثابتة خلال $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{s}$، وبقانونَي فاراداي ولنز، ثمّ شدّة التيّار في الدارة المغلقة:

   $$\bar{\epsilon }=-{\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}}{\mathrm{\Delta }t}}\bar{i}={\displaystyle \frac{\bar{\epsilon }}{R}}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\epsilon }=-{\displaystyle \frac{8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}}=-\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle \bar{i}={\displaystyle \frac{-\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}{5}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{i}=-\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{A}$$

   الإشارة السالبة: يمرّ التيّار المتحرّض بعكس الجهة الموجبة المختارة، فيولّد حقلاً يعاكس الحقل المحرّض، كما في الطلب السابق.

3. $\text{1<!-- -->c}$. احسب ذاتيَّة الوشيعة.

   العلاقة

   ذاتيّة الوشيعة، و$\mathrm{\ell }$ طولها:

   $$L=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{N^{2}s}{\mathrm{\ell }}}$$

   التعويض

   مع $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\mathrm{m}$، فيُختصر $\pi$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle L=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\times {\displaystyle \frac{5}{2\pi }}}\\ {\displaystyle \times (\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}{)}^2\times \mathrm{2<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle L={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\times 4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4\times 2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\end{array}$$

   الجواب

   $$L=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{H}$$

4. $\text{2<!-- -->a}$. نزيل الحقل المغناطيسيّ السابق ثمَّ نمرِّر في الوشيعة تيَّاراً كهربائيّاً شدَّته اللحظيَّة $\bar{i}=6+2t$. احسب القيمة الجبريَّة للقوَّة المحرِّكة الكهربائيَّة التحريضيّة الذاتيّة في الوشيعة.

   العلاقة

   القوّة المحرّكة الكهربائيّة التحريضيّة الذاتيّة:

   $$\bar{\epsilon }=-L{\displaystyle \frac{d\bar{i}}{dt}}$$

   التعويض

   مشتقّ الشدّة $\bar{i}=6+2t$ بالنسبة إلى الزمن هو ${\displaystyle \frac{d\bar{i}}{dt}}=2\mathrm{A}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، و$L=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{H}$ من الطلب السابق:

   $$\bar{\epsilon }=-8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\times 2$$

   الجواب

   $$\bar{\epsilon }=-\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{V}$$

   سالبة، لأنّ الشدّة تتزايد والقوّة المحرّكة الذاتيّة تعاكس هذا التزايد.

5. $\text{2<!-- -->b}$. احسب مقدار التغيُّر في التدفُّق المغناطيسيّ لحقل الوشيعة في الوشيعة في اللحظتين: $t_1=0,t_2=1\mathrm{s}$

   العلاقة

   التدفّق الذاتيّ لحقل الوشيعة عبرها يتناسب مع شدّة تيّارها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{\mathrm{\Phi }}=L\bar{i}}\\ {\displaystyle \overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}=L({\bar{i}}_2-{\bar{i}}_1)}\end{array}$$

   التعويض

   في $t_1=0$ تكون ${\bar{i}}_1=6\mathrm{A}$، وفي $t_2=1\mathrm{s}$ تكون ${\bar{i}}_2=6+2=8\mathrm{A}$:

   $$\overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\times (8-6)$$

   الجواب

   $$\overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{W}\mathrm{b}$$

   وتحقّقٌ بالطلب السابق: $\bar{\epsilon }=-\frac{\overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}}{\mathrm{\Delta }t}=-\frac{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}{1}$، أي $-\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{V}$.

6. $\text{2<!-- -->c}$. نمرِّر في سلك الوشيعة تيّاراً كهربائيّاً متواصلاً شدّته $\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{A}$ بدل التيّار السابق. احسب الطاقة الكهرطيسيّة المختزنة في الوشيعة. (يهمل تأثير الحقل المغناطيسيّ الأرضيّ)

   العلاقة

   الطاقة الكهرطيسيّة المختزنة في الوشيعة:

   $$E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}^2$$

   التعويض

   $$E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^2$$

   الجواب

   $$E_L=4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{J}$$