المسألة السابعة عشرة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب عدد لفَّاتها.

   العلاقة

   ذاتيّة الوشيعة، و$\mathrm{\ell }$ طولها و$s$ مساحة مقطعها، ومنها عدد اللفّات:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle L=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{N^{2}s}{\mathrm{\ell }}}}\\ {\displaystyle N=\sqrt{{\displaystyle \frac{L\mathrm{\ell }}{4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}s}}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $\mathrm{\ell }=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{m}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle N=\sqrt{{\displaystyle \frac{5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}}{4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\times 3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}}}\\ {\displaystyle N=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^6}{8\pi }}}\approx \mathrm{1<!--\; -->9<!--\; -->9<!--\; -->.<!--\; -->5}}\end{array}$$

   الجواب

   $$N\approx \mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}$$

   لفّة، فالمعطيات مقرّبة، ومع $4\pi =\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->.<!--\; -->5}$ يخرج العدد $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}$ تماماً.

2. 2. نمرِّر في الوشيعة تيَّاراً كهربائيّاً متواصلاً شدَّته $\mathrm{1<!--\; -->5}\mathrm{A}$ احسب الطاقة الكهرطيسيَّة المختزنة في الوشيعة.

   العلاقة

   الطاقة الكهرطيسيّة المختزنة في وشيعةٍ يمرّ فيها تيّارٌ شدّته $I$:

   $$E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}^2$$

   التعويض

   $$E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times {\mathrm{1<!--\; -->5}}^2$$

   الجواب

   $$E_L=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->6<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{J}$$

3. 3. نجعل شدَّة التيَّار تتناقص بانتظام من $\mathrm{1<!--\; -->5}\mathrm{A}$ إلى الصفر خلال $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{s}$ احسب القيمة الجبريَّة للقوَّة المحرِّكة الكهربائيَّة المتحرِّضة في الوشيعة وحدِّد جهة التيّار المتحرِّض.

   العلاقة

   القوّة المحرّكة الكهربائيّة التحريضيّة الذاتيّة، ونختار جهة التيّار الأصليّ جهةً موجبة:

   $$\bar{\epsilon }=-L{\displaystyle \frac{d\bar{i}}{dt}}$$

   التعويض

   الشدّة تتناقص بانتظام، فمعدّل تغيّرها ثابت:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{d\bar{i}}{dt}}={\displaystyle \frac{0-\mathrm{1<!--\; -->5}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}}=-\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{A}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\\ {\displaystyle \bar{\epsilon }=-5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times (-\mathrm{3<!--\; -->0})}\end{array}$$

   الجواب

   $$\bar{\epsilon }=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->5}\mathrm{V}$$

   القيمة موجبة، فالتيّار المتحرّض يمرّ بجهة التيّار الأصليّ نفسها: يعاكس تناقصَه، كما يقول قانون لنز.

4. 4. نمرِّر في سلك الوشيعة تيّاراً كهربائيّاً شدَّته اللحظيَّة مقدَّرة بالأمبير $\bar{i}=\mathrm{2<!--\; -->0}-5t$، احسب القيمة الجبريَّة للقوَّة المحرِّكة الكهربائيَّة التحريضيَّة الذاتيَّة الناشئة فيها. (نهمل تأثير الحقل المغناطيسيِّ الأرضيّ)

   العلاقة

   القوّة المحرّكة الكهربائيّة التحريضيّة الذاتيّة:

   $$\bar{\epsilon }=-L{\displaystyle \frac{d\bar{i}}{dt}}$$

   التعويض

   مشتقّ الشدّة $\bar{i}=\mathrm{2<!--\; -->0}-5t$ بالنسبة إلى الزمن هو ${\displaystyle \frac{d\bar{i}}{dt}}=-5\mathrm{A}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$\bar{\epsilon }=-5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times (-5)$$

   الجواب

   $$\bar{\epsilon }=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{V}$$

   قيمةٌ موجبة وثابتة، لأنّ الشدّة تتناقص بانتظام، والقوّة المحرّكة الذاتيّة تعاكس هذا التناقص.