المسألة الخامسة عشرة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب شدَّة القوَّة الكهرطيسيّة المؤثِّرة في كلٍّ من الضِّلعين الشاقوليّين لحظة مرور التيّار.

   العلاقة

   في كلّ ضلعٍ شاقوليّ $N$ سلكاً طول كلٍّ منها $L$ يجري فيها التيّار نفسه، و$\theta$ الزاوية بين الضلع والحقل:

   $$F=NILB\sin \theta$$

   التعويض

   الإطار مربّع، فطول ضلعه الجذر التربيعيّ لمساحته $s=\mathrm{2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle L=\sqrt{\mathrm{2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}}\\ {\displaystyle L=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{m}}\end{array}$$

   التعويض

   الضلع الشاقوليّ يعامد الحقل الأفقيّ، فـ $\sin \theta =1$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle F=\mathrm{5<!--\; -->0}\times 5\times 5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}\\ {\displaystyle \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times 1}\end{array}$$

   الجواب

   $$F=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{N}$$

   على كلٍّ من الضلعين، والقوّتان متعاكستان فتؤلّفان مزدوجة. أمّا الضلعان الأفقيّان فيوازيان الحقل، فلا قوّة عليهما.

2. 2. احسب عزم المزدوجة الكهرطيسيّة المؤثِّرة في الإطار لحظة إمرار التيّار السابق.

   العلاقة

   عزم المزدوجة الكهرطيسيّة، و$\alpha$ الزاوية بين الحقل والناظم على مستوي الإطار:

   $${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=NIsB\sin \alpha$$

   التعويض

   مستوي الإطار يوازي الحقل، فـ $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{5<!--\; -->0}\times 5\times \mathrm{2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times 1}\end{array}$$

   الجواب

   $${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}$$

   وهو جداء شدّة إحدى القوّتين في ذراع المزدوجة: $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}$.

3. 3. احسب عمل المزدوجة الكهرطيسيّة عندما ينتقل الإطار من وضعه السّابق إلى وضع التّوازن المستقرّ.

   العلاقة

   بنظريّة مكسويل، عمل المزدوجة الكهرطيسيّة يساوي جداء شدّة التيّار في تغيّر التدفّق:

   $$W=I\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$$

   العلاقة

   التدفّق $\mathrm{\Phi }=NBs\cos \alpha$. في الوضع السابق يوازي الحقلُ مستوي الإطار، فـ ${\alpha }_1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$؛ وفي التوازن المستقرّ يعامد الحقلُ المستوي، فـ ${\alpha }_2=0$:

   $$W=INsB(\cos {\alpha }_2-\cos {\alpha }_1)$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle W=5\times \mathrm{5<!--\; -->0}\times \mathrm{2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}(1-0)}\end{array}$$

   الجواب

   $$W=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{J}$$

   العمل موجب، فالمزدوجة محرّكة تُدير الإطار نحو وضع التوازن المستقرّ.

4. 4. نستبدل سلك التَّعليق بسلك فتل ثابت فتله $k$ لنشكِّل مقياساً غلفانيّاً ونمرِّر في الإطار تيَّاراً كهربائيّاً شدّته ثابتة $2\mathrm{m}\mathrm{A}$ فيدور الإطار بزاوية $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ ويتوازن. استنتج بالرموز علاقة ثابت فتل السلك $k$ واحسب قيمته، ثمّ احسب قيمة ثابت المقياس الغلفانيّ $G$.

   العلاقة

   عند التوازن مجموع عزوم المزدوجات حول محور الدوران معدوم: عزم المزدوجة الكهرطيسيّة، وعزم مزدوجة الفتل $-k{\theta }^{\mathrm{\prime }}$، حيث ${\theta }^{\mathrm{\prime }}$ زاوية دوران الإطار:

   $$N{I}^{\mathrm{\prime }}sB\sin \alpha -k{\theta }^{\mathrm{\prime }}=0$$

   العلاقة

   دار الإطار ${\theta }^{\mathrm{\prime }}$ من الوضع الذي كان فيه الحقل يوازي مستويه، فـ $\alpha +{\theta }^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ و$\sin \alpha =\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}$؛ والزاوية ${\theta }^{\mathrm{\prime }}$ صغيرة، فـ $\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}\approx 1$:

   $$N{I}^{\mathrm{\prime }}sB-k{\theta }^{\mathrm{\prime }}=0$$

   العلاقة

   ومنها العلاقة المطلوبة بالرموز:

   $$k={\displaystyle \frac{N{I}^{\mathrm{\prime }}sB}{{\theta }^{\mathrm{\prime }}}}$$

   التعويض

   مع $I^{\mathrm{\prime }}=2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{A}$ و${\theta }^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle N{I}^{\mathrm{\prime }}sB=\mathrm{5<!--\; -->0}\times 2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle \times \mathrm{2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}\\ {\displaystyle N{I}^{\mathrm{\prime }}sB=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}\\ {\displaystyle k={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$k=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}^{-1}$$

   العلاقة

   ثابت المقياس الغلفانيّ نسبة زاوية الدوران إلى شدّة التيّار، أي ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=G{I}^{\mathrm{\prime }}$:

   $$G={\displaystyle \frac{{\theta }^{\mathrm{\prime }}}{I^{\mathrm{\prime }}}}$$

   التعويض

   $$G={\displaystyle \frac{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}}$$

   الجواب

   $$G=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{A}}^{-1}$$

   تحقّق بالعلاقة $G=\frac{NsB}{k}=\frac{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{A}}^{-1}$.

5. 5. نزيد حساسيَّة المقياس $\mathrm{1<!--\; -->0}$ مرّات من أجل التيّار نفسه، احسب ثابت فتل سلك التعليق بالوضع الجديد. (يهمل تأثير الحقل المغناطيسيّ الأرضيّ)

   العلاقة

   تزداد حساسيّة المقياس كلّما زاد ثابته $G$، فتصير $G^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->0}G$؛ والإطار والحقل لم يتغيّرا، فيتغيّر ثابت الفتل وحده:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle G^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{NsB}{k^{\mathrm{\prime }}}}=\mathrm{1<!--\; -->0}{\displaystyle \frac{NsB}{k}}}\\ {\displaystyle k^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{k}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$k^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}$$

   الجواب

   $$k^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}^{-1}$$

   أي سلكٌ أرفع من المادّة نفسها. ويدور الإطار عندئذٍ بالتيّار نفسه ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، عشرة أضعاف ما كان.