المسألة الرابعة عشرة من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. وازن بالحساب بين شدّة ثقل الإلكترون وشدّة القوّة المغناطيسيّة المؤثِّرة فيه. ماذا تستنتج؟

   العلاقة

   شدّة ثقل الإلكترون:

   $$w=m_{e}g$$

   التعويض

   $$w=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->1}}\times \mathrm{1<!--\; -->0}=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->0}}\mathrm{N}$$

   العلاقة

   شدّة القوّة المغناطيسيّة، و$e$ القيمة المطلقة لشحنة الإلكترون، والحقل ناظميٌّ على شعاع السرعة، $\theta ={\mathrm{9<!--\; -->0}}^{\circ }$:

   $$F=evB\sin \theta$$

   التعويض

   مع $v=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، أي $8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle F=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->9}}\times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6}\\ {\displaystyle \times 5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle F=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->5}}\mathrm{N}}\end{array}$$

   التعويض

   نقارن الشدّتين بالنسبة:

   $${\displaystyle \frac{F}{w}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->5}}}{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->0}}}}\approx 7\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->4}}$$

   الجواب

   القوّة المغناطيسيّة أكبر من ثقل الإلكترون بنحو $7\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->4}}$ مرّة، فثقله مهملٌ أمامها، ويخضع الإلكترون عمليّاً للقوّة المغناطيسيّة وحدها.

2. 2. برهن أنَّ حركة الإلكترون ضمن المنطقة التي يسودها الحقل المغناطيسيّ هي حركة دائريّة منتظمة، ثمّ استنتج العلاقة المحدِّدة لنصف قطر المسار الدائريّ، واحسب قيمته.

   العلاقة

   بإهمال الثقل يخضع الإلكترون للقوّة المغناطيسيّة وحدها، $\vec{F}=q\vec{v}\wedge \vec{B}$ مع $q=-e$. وهي عموديّةٌ دوماً على شعاع السرعة، فالتسارع الذي تكسبه للإلكترون عموديٌّ على السرعة، ليس له مركّبةٌ على المماسّ:

   $$\vec{a}={\displaystyle \frac{\vec{F}}{m_e}}\perp \vec{v}$$

   العلاقة

   فلا تتغيّر قيمة السرعة $v$، بل حامل شعاعها وجهته وحدهما. والحقل منتظمٌ وعموديٌّ على السرعة، فشدّة القوّة $F=evB$ ثابتة، والتسارع ناظميٌّ ثابت الشدّة $a_c={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$، فنصف قطر المسار $r$ ثابت. والقوّة عموديّةٌ على $\vec{B}$ أيضاً، فتبقى الحركة في المستوي العموديّ على الحقل.

   الجواب

   حركةٌ مستويةٌ بسرعةٍ ثابتة القيمة على مسارٍ نصف قطره ثابت: حركة الإلكترون دائريّةٌ منتظمة.

   العلاقة

   القوّة المغناطيسيّة وحدها تعطي الإلكترون التسارع الناظميّ $a_c={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$، وبالعلاقة الأساسيّة في التحريك:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle evB=m_e{\displaystyle \frac{v^2}{r}}}\\ {\displaystyle r={\displaystyle \frac{m_{e}v}{eB}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$r={\displaystyle \frac{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->1}}\times 8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->9}}\times 5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}}$$

   الجواب

   $$r=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9}\mathrm{c}\mathrm{m}$$

3. 3. احسب دور الحركة.

   العلاقة

   في الحركة الدائريّة المنتظمة يقطع الإلكترون محيط المسار $2\pi r$ في دورٍ واحد بالسرعة الثابتة $v$:

   $$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi m_e}{eB}}$$

   التعويض

   مع $r=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{m}$ من الطلب السابق:

   $$T={\displaystyle \frac{2\pi \times 9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6}}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}$$

   الجواب

   $$T\approx \mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}\mathrm{s}$$

   والدور لا يتعلّق بالسرعة، كما في الدرس.