المسألة الخامسة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. استنتجْ قيمةَ التّوتُّر المُنتِج الكلّيّ بينَ طرفَي المأخذِ باستخدامِ إنشاءِ فرينل.

   إنشاء فرينل

   الشدّة واحدة في الدارة، فنتّخذ حاملها محوراً مرجعيّاً. التوتّر على المقاومة على توافقٍ معها، وعلى الوشيعة متقدّمٌ بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، وعلى المكثّفة متأخّرٌ بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$:

   العلاقة

   من المثلّث القائم بحسب فيثاغورث:

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=U_R^2+(U_L-U_C{)}^2$$

   التعويض

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\sqrt{{\mathrm{3<!--\; -->0}}^2+(\mathrm{8<!--\; -->0}-\mathrm{4<!--\; -->0}{)}^2}$$

   الجواب

   $$U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{V}$$

2. 2. احسبْ قيمةَ الشِّدَّة المُنتِجةَ المارَّة في الدَّارة، ثمَّ اكتبِ التّابعَ الزَّمنيّ لتلك الشِّدَّة.

   العلاقة

   من المكثّفة، وردّيّتها $X_C={\displaystyle \frac{1}{C\omega }}$:

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_C}{X_C}}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_C={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}}{\mathrm{2<!--\; -->0}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=2\mathrm{A}}\\ {\displaystyle \bar{i}=2\sqrt{2}\cos \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t}\end{array}$$

   أخذنا الطور الابتدائيّ للشدّة صفراً لأنّ المسألة لا تحدّده. $\bar{i}$ بالأمبير و$t$ بالثانية.

3. 3. احسبِ المُمانعةَ الكلّيّة للدّارة.

   العلاقة

   $$Z={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}$$

   الجواب

   $$Z={\displaystyle \frac{\mathrm{5<!--\; -->0}}{2}}=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{\Omega }$$

   والمقاومة $R={\displaystyle \frac{U_R}{I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->0}}{2}}=\mathrm{1<!--\; -->5}\mathrm{\Omega }$.

4. 4. احسبْ ذاتيةَ الوشيعة، واكتبِ التّابعَ الزَّمنيّ للتوتُّر بينَ طرفَيها.

   العلاقة

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L={\displaystyle \frac{U_L}{I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}}\\ {\displaystyle L={\displaystyle \frac{X_L}{\omega }}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L={\displaystyle \frac{\mathrm{8<!--\; -->0}}{2}}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle L={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle L={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}{\pi }}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->7}\mathrm{H}}\\ {\displaystyle {\bar{u}}_L=\mathrm{8<!--\; -->0}\sqrt{2}\cos (\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})}\end{array}$$

   توتّر الوشيعة متقدّمٌ على الشدّة بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، و${\bar{u}}_L$ بالفولت و$t$ بالثانية.

5. 5. احسبْ عاملَ استطاعةِ الدَّارة.

   العلاقة

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{U_R}{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}={\displaystyle \frac{R}{Z}}$$

   الجواب

   $$\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->0}}{\mathrm{5<!--\; -->0}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$$

6. $\text{6<!-- -->a}$. نضيفُ إلى المُكثِّفةِ في الدَّارة السَّابقة مُكثِّفةً $C^{\mathrm{\prime }}$ مُناسبةً، فتصبحُ الشِّدَّةُ المُنتِجةُ للتيّار بأكبرِ قيمةٍ لها، المطلوب: حدِّدِ الطّريقةِ الّتي يتمُّ بها ضمُّ المُكثِّفتَين.

   العلاقة

   تبلغ الشدّة أكبر قيمها في حالة الطنين، حين تساوي الاتّساعيّة الكلّيّة ردّيّة الوشيعة:

   $$X_{C\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}=X_L=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }>X_C=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$$

   الجواب

   يجب أن تكبر الاتّساعيّة، أي أن تصغر السعة الكلّيّة. والمكثّفتان على التسلسل تعطيان سعةً أصغر من كلٍّ منهما، فنضمّ $C^{\mathrm{\prime }}$ على التسلسل.

7. $\text{6<!-- -->b}$. احسبْ سعةَ المُكثِّفةِ المضمومة $C^{\mathrm{\prime }}$.

   العلاقة

   على التسلسل تُجمع الاتّساعيّتان:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_{C^{\mathrm{\prime }}}=X_{C\text{t<!-- -->o<!-- -->t}}-X_C}\\ {\displaystyle C^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{X_{C^{\mathrm{\prime }}}\omega }}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_{C^{\mathrm{\prime }}}=\mathrm{4<!--\; -->0}-\mathrm{2<!--\; -->0}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle C^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$C^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->9}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{F}$$

   أي مكثّفةٌ مماثلةٌ للأولى.

8. $\text{6<!-- -->c}$. احسبِ الاستطاعةَ المُتوسِّطة المُستهلَكة في الدَّارة في هذه الحالة.

   العلاقة

   في حالة الطنين $Z=R$، وعامل الاستطاعة يساوي الواحد:

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2}{R}}$$

   التعويض

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->5<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->5}}}$$

   الجواب

   $$P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}\approx \mathrm{1<!--\; -->6<!--\; -->7}\mathrm{W}$$