المسألة السادسة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبْ قيمةَ المُقاوَمة إذا كانَ فرقُ الكمونِ المُنتِج بينَ طرفَيها $\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{V}$.

   العلاقة

   على التسلسل $U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=U_R^2+U_C^2$، وردّيّة المكثّفة $X_C={\displaystyle \frac{1}{C\omega }}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_C=\sqrt{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2-U_R^2}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_C}{X_C}}}\\ {\displaystyle R={\displaystyle \frac{U_R}{I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_C={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle U_C=\sqrt{{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}^2-{\mathrm{6<!--\; -->0}}^2}=\mathrm{8<!--\; -->0}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{8<!--\; -->0}}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}=2\mathrm{A}}\end{array}$$

   الجواب

   $$R={\displaystyle \frac{\mathrm{6<!--\; -->0}}{2}}=\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$$

2. 2. نضيفُ على التَّسلسُلِ إلى الدَّارةِ السَّابقة وشيعة مُناسِبة مُقاوَمتُها مُهمَلة بحيثُ تبقى الشِّدَّةُ المُنتِجة نفسُها، احسبْ ذاتيّة هذه الوشيعة.

   العلاقة

   الشدّة نفسها تحت التوتّر نفسه، فالممانعة نفسها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle R^2+(X_L-X_C{)}^2=R^2+X_C^2}\\ {\displaystyle \mathrm{\mid }{X}_L-X_C\mathrm{\mid }=X_C}\end{array}$$

   التعويض

   الحلّ $X_L=0$ يعني ألّا وشيعة، فالحلّ الآخر:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L=2X_C=\mathrm{8<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle L={\displaystyle \frac{\mathrm{8<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$L={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}}{\pi }}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5<!--\; -->5}\mathrm{H}$$

3. 3. نغيّرُ تواتُرِ التيّار في الدَّارة الأخيرة بحيثُ يحصلُ توافُقٌ بالطّور بينَ شدَّةِ التيّارِ والتّوتُّرِ المُطبَّق، احسبْ قيمةَ التَّواتُر الجديد.

   العلاقة

   الشدّة والتوتّر على توافقٍ في الطور في حالة الطنين:

   $$f_r={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}$$

   التعويض

   $LC={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}}{\pi }}\times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}={\displaystyle \frac{2\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}{{\pi }^2}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f_r={\displaystyle \frac{1}{2\pi \times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}{\pi }}}}}\\ {\displaystyle f_r={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$f_r\approx \mathrm{3<!--\; -->5<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{H}\mathrm{z}$$

4. 4. تحذفُ المُقاوَمةُ الصّرف من الدَّارة ويعادُ ربطُ المُكثِّفة على التَّفرُّع معَ الوشيعةِ بينَ طرفَي مأخذِ التيّار، احسبْ قيمةَ الشِّدَّة المُنتِجة الأصليّة للدّارة في هذهِ الحالة باستخدامِ إنشاء فرينل.

   العلاقة

   بين طرفي كلٍّ منهما توتّر المأخذ $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{V}$ وتواتره $\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_L={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{X_L}}}\\ {\displaystyle I_C={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{X_C}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_L={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{8<!--\; -->0}}}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{A}}\\ {\displaystyle I_C={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{A}}\end{array}$$

   إنشاء فرينل

   شدّة المكثّفة متقدّمةٌ على التوتّر بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، وشدّة الوشيعة متأخّرةٌ عنه بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، فهما على حاملٍ واحدٍ متعاكستان:

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=I_C-I_L}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5}-\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{A}}\end{array}$$

   وهي متقدّمةٌ على التوتّر بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، فالدارة سعويّة.