المسألة الرابعة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبِ التّوتُّرَ المُنتِجَ بينَ طرفَي المأخذِ وتواتُرِ التيّار

   العلاقة

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle f={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\pi }{2\pi }}=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}}\end{array}$$

2. 2. نضعُ بينَ طرفَي المأخذ مصباحاً كهربائيّاً ذاتيتُه مُهمَلة، فيمرُّ فيها تيّارٌ شدّتُه المُنتِجة $6\mathrm{A}$، احسبْ قيمةَ المُقاوَمة أومية للمصباحِ، واكتبْ تابعَ الشِّدَّةِ اللّحظيّةِ المارَّة فيها.

   العلاقة

   المصباح مقاومةٌ أوميّة، فشدّته على توافقٍ مع التوتّر:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle R={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_R}}}\\ {\displaystyle {\bar{i}}_R=I_R\sqrt{2}\cos \omega t}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle R={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}{6}}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle {\bar{i}}_R=6\sqrt{2}\cos \mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\pi t}\end{array}$$

   حيث ${\bar{i}}_R$ بالأمبير و$t$ بالثانية.

3. 3. نصلُ بينَ طرفَي المصباحِ في الدَّارةِ السّابقة وشيعةً عاملُ استطاعتها ${\displaystyle \frac{1}{2}}$، فيمرُّ في الوشيعةِ تيّارٌ شدّتُه المُنتِجةُ $\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{A}$. احسبْ ممانعةَ الوشيعة، والاستطاعةَ المُستهلَكة فيها، ثمَّ اكتبْ تابعَ الشِّدَّةِ اللّحظيّة المارّة فيها.

   العلاقة

   الوشيعة على التفرّع مع المصباح، فبين طرفيها توتّر المأخذ:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_L={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_L}}}\\ {\displaystyle P_L=U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_L\cos {\bar{\phi }}_L}\end{array}$$

   التعويض

   $\cos {\bar{\phi }}_L={\displaystyle \frac{1}{2}}$، فشدّة الوشيعة متأخّرةٌ عن التوتّر بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Z_L={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}=\mathrm{1<!--\; -->2}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle P_L=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{W}}\end{array}$$

   الجواب

   $${\bar{i}}_L=\mathrm{1<!--\; -->0}\sqrt{2}\cos (\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$

   ومقاومة الوشيعة $r=Z_L\cos {\bar{\phi }}_L=6\mathrm{\Omega }$، فـ $P_L=r{I}_L^2=\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{W}$ أيضاً.

4. 4. احسبْ قيمةَ الشِّدَّة المُنتِجة في الدَّارة الأصلية باستخدام إنشاء فرينل.

   إنشاء فرينل

   نرسم شعاع شدّة المصباح على حامل التوتّر، ثمّ من رأسه شعاع شدّة الوشيعة متأخّراً بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. وشعاع الشدّة الكلّيّة يمتدّ من مبدأ الشعاع الأوّل إلى رأس الثاني:

   العلاقة

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=I_R^2+I_L^2}\\ {\displaystyle +2I_R{I}_L\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=\mathrm{3<!--\; -->6}+\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}\\ {\displaystyle +2\times 6\times \mathrm{1<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{1<!--\; -->9<!--\; -->6}}\end{array}$$

   الجواب

   $$I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{1<!--\; -->4}\mathrm{A}$$

5. 5. احسبِ الاستطاعةَ المُتوسِّطةَ المُستهلَكةَ في جملةِ الفرعَين، وعاملَ استطاعةِ الدَّارة.

   العلاقة

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=R{I}_R^2+P_L}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}}{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{2<!--\; -->0}\times \mathrm{3<!--\; -->6}+\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->2<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\times \mathrm{1<!--\; -->4}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->2<!--\; -->0}\mathrm{W}}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->1}}{\mathrm{1<!--\; -->4}}}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->9}}\end{array}$$

6. 6. احسبْ سعةَ المُكثِّفةِ الواجبِ ربطُها على التّفرُّع بينَ طرفَي المأخذِ لتصبحَ شدّةُ التيّارِ الأصليّة الجديدة على وفاقٍ بالطّور معَ التّوتُّرِ المُطبَّق عندَما تعملُ الفروعُ الثلاثة معاً.

   العلاقة

   شدّة المكثّفة متقدّمةٌ على التوتّر بالزاوية ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$، فهي تلغي مركّبة شدّة الوشيعة العموديّة على حامل التوتّر إذا ساوتها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_C=I_L\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\\ {\displaystyle X_C={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_C}}}\\ {\displaystyle C={\displaystyle \frac{1}{X_C\omega }}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_C=\mathrm{1<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=5\sqrt{3}\approx \mathrm{8<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->6}\mathrm{A}}\\ {\displaystyle X_C={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}{5\sqrt{3}}}=8\sqrt{3}\approx \mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->.<!--\; -->9}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle C={\displaystyle \frac{1}{8\sqrt{3}\times \mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$C\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{F}$$

   والشدّة الأصليّة الجديدة هي مجموع المركّبتين على حامل التوتّر: $I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=6+\mathrm{1<!--\; -->0}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{1<!--\; -->1}\mathrm{A}$، والاستطاعة لا تتغيّر لأنّ المكثّفة لا تستهلك استطاعةً.