المسألة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب مُقاوَمةِ الوشيعة وذاتيتِها.

   العلاقة

   في التيّار المتواصل الوشيعة مقاومةٌ أوميّةٌ فقط، وفي المتناوب ممانعتها $Z_L=\sqrt{r^2+X_L^2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle r={\displaystyle \frac{U}{I}}}\\ {\displaystyle Z_L={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}}}\\ {\displaystyle X_L=\sqrt{Z_L^2-r^2}}\\ {\displaystyle L={\displaystyle \frac{X_L}{\omega }}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $\omega =2\pi f=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle r={\displaystyle \frac{6}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}}=\mathrm{1<!--\; -->2}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle Z_L={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}=\mathrm{1<!--\; -->3}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle X_L=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->6<!--\; -->9}-\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}}=5\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle r=\mathrm{1<!--\; -->2}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle L={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0}\pi }}}\\ {\displaystyle L\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->9}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{H}}\end{array}$$

2. 2. احسب عددِ لفّاتِ الوشيعة إذا علمتَ أنَّ مساحةَ مقطعِها ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{8<!--\; -->0}}}{\mathrm{m}}^2$ وطولَها $1\mathrm{m}$.

   العلاقة

   ذاتيّة الوشيعة، ومنها عدد اللفّات:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle L=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{N^{2}s}{\mathrm{\ell }}}}\\ {\displaystyle N^2={\displaystyle \frac{L\mathrm{\ell }}{4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}s}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $L={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{H}$ و$s={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{8<!--\; -->0}}}{\mathrm{m}}^2$ و$\mathrm{\ell }=1\mathrm{m}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle N^2={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2<!--\; -->0}\pi }}}{4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{8<!--\; -->0}}}}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^7}{{\pi }^2}}}\\ {\displaystyle N^2={\mathrm{1<!--\; -->0}}^6({\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0})}\end{array}$$

   الجواب

   $$N=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}$$

3. 3. احسب سعةِ المُكثِّفةِ التي يجبُ ضمُّها على التَّسلسُلِ معَ الوشيعةِ السَّابقة حتّى يصبحَ عاملُ استطاعةِ الدَّارةِ يُساوي الواحد ثمَّ حسابِ الشِّدَّةِ المُنتِجةِ للتيّار، والاستطاعةِ المُتوسِّطةِ المُستهلَكةِ في الدَّارةِ عندَئذٍ.

   العلاقة

   يساوي عامل الاستطاعة $\cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{r}{Z}}$ الواحد حين $Z=r$، أي في حالة الطنين:

   $$X_C=X_L\Rightarrow C={\displaystyle \frac{1}{X_L\omega }}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle C={\displaystyle \frac{1}{5\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{r}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle C\approx \mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{F}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}\approx \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->.<!--\; -->8}\mathrm{A}}\\ {\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=r{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2\approx \mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->0<!--\; -->8}\mathrm{W}}\end{array}$$