المسألة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبِ التّوتُّرَ المُنتِج للتيّار وتواتُره.

   العلاقة

   التابع من الشكل $\bar{u}=U_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos \omega t$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->0}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle f={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }{2\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}=\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->0}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle f=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}}\end{array}$$

2. 2. نصلُ بينَ النّقطتَين $a$ و $b$ وشيعةً، مُقاوَمتُها $r=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{\Omega }$، وذاتيتُها $L={\displaystyle \frac{3}{5\pi }}\mathrm{H}$. احسبِ الشِّدَّةَ المُنتِجةَ، وعاملَ استطاعةِ الدَّارة، والاستطاعةَ المُتوسِّطةَ المُستهلَكة فيها.

   العلاقة

   ردّيّة الوشيعة وممانعتها، ثمّ قانون أوم:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L=L\omega }\\ {\displaystyle Z_L=\sqrt{r^2+X_L^2}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}}{Z_L}}}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{r}{Z_L}}}\end{array}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L={\displaystyle \frac{3}{5\pi }}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi =\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle Z_L=\sqrt{{\mathrm{2<!--\; -->5}}^2+{\mathrm{6<!--\; -->0}}^2}=\mathrm{6<!--\; -->5}\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->0}}{\mathrm{6<!--\; -->5}}}=2\mathrm{A}}\\ {\displaystyle \cos \bar{\phi }={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->5}}{\mathrm{6<!--\; -->5}}}={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{1<!--\; -->3}}}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->8}}\\ {\displaystyle P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=r{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}^2=\mathrm{2<!--\; -->5}\times 4=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{W}}\end{array}$$

   وللتحقّق: $P_{\text{a<!-- -->v<!-- -->g}}=U_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}{I}_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}\cos \bar{\phi }$، أي $\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->0}\times 2\times {\displaystyle \frac{5}{\mathrm{1<!--\; -->3}}}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{W}$.

3. 3. نرفعُ الوشيعةَ ثمَّ نصلُ النّقطتَين $a$ و $b$ بمقاومةٍ $R=\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }$ موصولةٍ على التَّسلسُلِ مع مُكثِّفةٍ سعتُها $C={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}\mathrm{F}$ ووشيعةٍ ذاتيتُها $L$ مقاومتُها مُهمَلة، فتصبحُ الشِّدَّةُ المُنتِجة للتيّار بأكبرِ قيمةٍ مُمكِنةٍ لها، احسبْ قيمةَ ذاتيةِ الوشيعةِ، والشِّدَّةَ المُنتِجةَ للتيّار في هذه الحالة.

   العلاقة

   تبلغ الشدّة أكبر قيمها حين تصغر الممانعة $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$ إلى أصغر قيمها، أي في حالة الطنين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_L=X_C}\\ {\displaystyle Z=R}\end{array}$$

   التعويض

   ردّيّة المكثّفة $X_C={\displaystyle \frac{1}{C\omega }}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle X_C={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{\Omega }}\\ {\displaystyle L={\displaystyle \frac{X_L}{\omega }}={\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle L={\displaystyle \frac{2}{5\pi }}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->7}\mathrm{H}}\\ {\displaystyle I_{\text{e<!-- -->f<!-- -->f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->0}}{\mathrm{3<!--\; -->0}}}\approx \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->3}\mathrm{A}}\end{array}$$