المسألة الرابعة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبْ شحنةَ المُكثِّفةِ والطَّاقةَ المُختزنة فيها.

   العلاقة

   $$q=C{U}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}E={\displaystyle \frac{1}{2}}C{U}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle q={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3}\\ {\displaystyle E={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}\times ({\mathrm{1<!--\; -->0}}^3{)}^2}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle q={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}\mathrm{C}}\\ {\displaystyle E=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\mathrm{J}}\end{array}$$

2. $\text{2<!-- -->a}$. بعد شحنِ المُكثِّفة توصَلُ بوشيعةٍ ذاتيتُها $L=\mathrm{1<!--\; -->6}\mathrm{m}\mathrm{H}$، مُقاوَمتها الأومية مُهمَلة. المطلوبُ: صِفْ ما يحدثُ.

   الجواب

   تتفرّغ المكثّفة في الوشيعة، فتنشأ في الدارة اهتزازاتٌ كهربائيّةٌ حرّة: تتبادل المكثّفة والوشيعة الطاقة، طاقةً كهربائيّةً في المكثّفة وطاقةً كهرطيسيّةً في الوشيعة. والمقاومة مهملة، فلا تضيع طاقة، والاهتزازات جيبيّةٌ غير متخامدة، سعتها ثابتة ودورها الدور الخاصّ $T_0$.

3. $\text{2<!-- -->b}$. احسبْ تواتُر الاهتزازات الكهربائيّة.

   العلاقة

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}{f}_0={\displaystyle \frac{{\omega }_0}{2\pi }}$$

   التعويض

   مع $L=\mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{H}$، فـ $LC=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->4}}{\mathrm{s}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->4}}}}}}\\ {\displaystyle {\omega }_0\approx \mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\\ {\displaystyle f_0={\displaystyle \frac{\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6}{2\pi }}}\end{array}$$

   الجواب

   $$f_0\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{H}\mathrm{z}$$

4. $\text{2<!-- -->c}$. اكتبِ التّابعَ الزَّمني لكلٍّ من الشُّحنةِ وشدَّةِ التيّار بدءاً من الشَّكل العام مُعتبِراً مبدأ الزّمنِ لحظةَ وصلِ المُكثِّفة المشحونةِ بالوشيعة.

   العلاقة

   الشكل العامّ للشحنة، والشدّة مشتقّتها بالنسبة للزمن:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{q}=q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })}\\ {\displaystyle \bar{i}=(\bar{q}{)}_t^{\mathrm{\prime }}}\end{array}$$

   التعويض

   في اللحظة $t=0$ المكثّفة مشحونةٌ كلّيّاً، $\bar{q}=q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، فـ $\cos \bar{\phi }=1$ و$\bar{\phi }=0$. والشدّة العظمى $I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\approx \mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{A}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{i}=-{\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin {\omega }_{0}t}\\ {\displaystyle \bar{i}={\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{q}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}\cos (\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{6}t)}\\ {\displaystyle \bar{i}=\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle \times \cos (\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{6}t+\frac{\pi }{2})}\end{array}$$

   حيث $\bar{q}$ بالكولون و$\bar{i}$ بالأمبير و$t$ بالثانية.