المسألة الخامسة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. نركِّبُ الدَّارةَ الموضَّحة بالشَّكل حيثُ $L={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{H}$، $C={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}\mathrm{F}$، $U_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^3\mathrm{V}$ نصلُ القاطِعة إلى الوضعِ $(1)$، احسبِ القيمةَ العُظمى لشحنةِ المُكثِّفة.

   العلاقة

   تُشحن المكثّفة حتّى يساوي التوتّر بين لبوسيها توتّر المولّد:

   $$q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=C{U}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$$

   التعويض

   $$q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3$$

   الجواب

   $$q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}\mathrm{C}$$

2. 2. نحوّلُ القاطعةَ إلى الوضع $(2)$، احسبْ تواتُر التيّارِ المُهتزِّ المارّ من الوشيعةِ ونبضه، واكتبِ التّابع الزَّمني للشّدّة اللّحظيّة معتبراً مبدأ الزمن لحظة وصل القاطعة إلى النقطة $(2)$.

   العلاقة

   النبض الخاصّ ثمّ التواتر الخاصّ:

   $${\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}{f}_0={\displaystyle \frac{{\omega }_0}{2\pi }}$$

   التعويض

   مع $LC={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->5}}{\mathrm{s}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->5}}}}}=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->0}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7}\\ {\displaystyle {\omega }_0\approx \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\\ {\displaystyle f_0={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7}{2\pi }}\approx \mathrm{5<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{H}\mathrm{z}}\end{array}$$

   التابع الزمنيّ

   في اللحظة $t=0$ المكثّفة مشحونةٌ كلّيّاً، فـ $\bar{q}=q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos {\omega }_{0}t$، والشدّة مشتقّة الشحنة بالنسبة للزمن:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{i}=(\bar{q}{)}_t^{\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin {\omega }_{0}t}\\ {\displaystyle I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\approx \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{A}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{i}=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}\\ {\displaystyle \times \cos (\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{7}t+\frac{\pi }{2})}\end{array}$$

   حيث $\bar{i}$ بالأمبير و$t$ بالثانية. والنبض الخاصّ ${\omega }_0\approx \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، والتواتر الخاصّ $f_0\approx \mathrm{5<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{H}\mathrm{z}$.