المسألة الرابعة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. بيِّن أنَّه تنشأ قوَّةٌ كهرطيسيّة تعيقُ حركةَ السّاق.

   التعليل

   تتحرّك الساق في الحقل، فيتغيّر التدفّق الذي يجتاز الدارة، فتتولّد فيها قوّةٌ محرّكةٌ كهربائيّةٌ متحرّضة، والدارة مغلقة فيمرّ تيّارٌ متحرّض في الساق. والساق يمرّ فيها تيّار وهي في حقلٍ مغناطيسيّ، فتخضع لقوّةٍ كهرطيسيّة.

   الجواب

   وبحسب قانون لنز يعاكس التيّارُ المتحرّض السببَ الذي أحدثه، أي حركةَ الساق، فالقوّة الكهرطيسيّة تعيق انزلاقها. وهي أفقيّة لأنّ الحقل شاقوليّ، ومركّبتها على امتداد السكّتين نحو الأعلى.

2. 2. استنتج العلاقةَ المُحدَّدةَ للمُقاوَمةِ الكليّة للدّارة، ثمَّ احسبْ قيمتَها إذا كانَت شدَّةُ التيّارِ المُتحرِّض المُتولِد فيها $\sqrt{2}\mathrm{A}$.

   العلاقة

   يتغيّر التدفّق بالمركّبة الأفقيّة للسرعة وحدها، وهي العموديّة على الحقل الشاقوليّ: $v\cos {\mathrm{4<!--\; -->5}}^{\circ }$. فالقوّة المحرّكة المتحرّضة ثمّ المقاومة:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \epsilon =B\mathrm{\ell }v\cos {\mathrm{4<!--\; -->5}}^{\circ }}\\ {\displaystyle R={\displaystyle \frac{\epsilon }{i}}={\displaystyle \frac{B\mathrm{\ell }v\cos {\mathrm{4<!--\; -->5}}^{\circ }}{i}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $\mathrm{\ell }=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{m}$:

   $$R={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\times 2\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}{\sqrt{2}}}$$

   الجواب

   $$R=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->2}\mathrm{\Omega }$$

   والقوّة المحرّكة $\epsilon =\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->2}\sqrt{2}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->5}\mathrm{V}$.

3. 3. استنتجِ العلاقةَ المُحدَّدة لكتلةِ السَّاقِ، ثمَّ احسب قيمتَها.

   العلاقة

   السرعة ثابتة، فمحصّلة القوى معدومة. القوّة الكهرطيسيّة $F=i\mathrm{\ell }B$ أفقيّة؛ نسقط القوى على امتداد السكّتين، ومع $\tan {\mathrm{4<!--\; -->5}}^{\circ }=1$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle mg\sin {\mathrm{4<!--\; -->5}}^{\circ }=i\mathrm{\ell }B\cos {\mathrm{4<!--\; -->5}}^{\circ }}\\ {\displaystyle m={\displaystyle \frac{i\mathrm{\ell }B}{g}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $i=\sqrt{2}\mathrm{A}$ و$g=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$:

   $$m={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}$$

   الجواب

   $$m=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->2}\sqrt{2}\approx \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}$$

   أي نحو $\mathrm{4<!--\; -->5}\mathrm{g}$.