المسألة الثالثة من امتحان 2023، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب شحنة المكثفة، والطاقة المختزنة فيها.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   $$q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=C{U}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$$

   في سلّم التصحيح: يُقبل الرمز $q$ مكان $q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$.

   التعويضالدرجة: 3

   مع $C=1\mu \mathrm{F}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{F}$:

   $$q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{C}$$

   في سلّم التصحيح: يخسر الطالب درجةً واحدة إذا أخطأ في تحويل الواحدة.

   العلاقةالدرجة: 5

   الطاقة الكهربائيّة المختزنة في المكثّفة:

   $$E={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}{C}}$$

   في سلّم التصحيح: تُقبل أيّ طريقةٍ صحيحة، مثل $E=\frac{1}{2}C{U}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2$.

   التعويضالدرجة: 3

   $$E={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$E=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{J}$$

2. $\text{2<!-- -->a}$. بعد أن نشحن المكثفة نصلها بوشيعة ذاتيتها $L=4\mu \mathrm{H}$، مقاومتها الأومية مهملة، وباعتبار $4\pi =\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->.<!--\; -->5}$. المطلوب: احسب تواتر الاهتزازات الكهربائية.(10 درجات)

   العلاقةالدرجة: 5

   مقاومة الدارة مهملة، فالاهتزازات حرّة غير متخامدة، ودورها الخاصّ $T_0=2\pi \sqrt{LC}$ بعلاقة طومسون:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f_0={\displaystyle \frac{1}{T_0}}}\\ {\displaystyle f_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   مع $L=4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{H}$:

   $$f_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}}}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$f_0={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->5}}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7\mathrm{H}\mathrm{z}$$

   لأنّ $2\pi \sqrt{4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}}=4\pi \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}$، أي $\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}$، ومنها $f_0=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4\mathrm{H}\mathrm{z}$.

   في سلّم التصحيح: يُقبل $f_0=\frac{1}{4\pi }\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{H}\mathrm{z}$، ويُقبل $f_0=8\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4\mathrm{H}\mathrm{z}$.

3. $\text{2<!-- -->b}$. استنتج التابع الزمني للشحنة اللحظية بدءا من الشكل العام معتبرا مبدأ الزمن لحظة وصل المكثفة المشحونة بالوشيعة.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   الشكل العامّ للتابع الزمنيّ للشحنة اللحظيّة:

   $$\bar{q}=q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$$

   العلاقةالدرجة: 3

   في اللحظة $t=0$ المكثّفة مشحونةٌ كلّيّاً، $\bar{q}=q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، فـ $\cos \bar{\phi }=1$ و$\bar{\phi }=0$:

   $$\bar{q}=q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos {\omega }_{0}t$$

   العلاقةالدرجة: 2

   والنبض الخاصّ:

   $${\omega }_0=2\pi f_0$$

   التعويضالدرجة: 2+1

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_0=2\pi \times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->5}}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7}\\ {\displaystyle {\omega }_0=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^5\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: أو ${\omega }_0=2\pi \times \frac{1}{4\pi }\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6$.

   الجوابالدرجة: 2

   $$\bar{q}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\cos (5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{5}t)$$

   حيث $\bar{q}$ بالكولون و$t$ بالثانية.