المسألة الثانية من امتحان 2023، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. احسب شدة القوة الكهرطيسية المؤثرة في كل من الضلعين الشاقوليين لحظة مرور التيار.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 8

   في كلّ ضلعٍ شاقوليّ $N$ سلكاً طول كلٍّ منها $L$ يجري فيها التيّار نفسه، و$\theta$ الزاوية بين الضلع والحقل:

   $$F=NILB\sin \theta$$

   في سلّم التصحيح: يخسر الطالب درجةً واحدة إذا أغفل $\sin \theta$، ودرجةً واحدة إذا أغفل $N$.

   التعويضالدرجة: 1+1

   الإطار مربّع، فطول ضلعه الجذر التربيعيّ لمساحته $s=\mathrm{3<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle L=\sqrt{\mathrm{3<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}}\\ {\displaystyle L=6\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{m}}\end{array}$$

   التعويضالدرجة: 3

   الضلع الشاقوليّ يعامد الحقل الأفقيّ، فـ $\sin \theta =1$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle F=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 4\times 6\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}\\ {\displaystyle \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times 1}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$F=\mathrm{2<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{N}$$

   أي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{N}$ على كلٍّ من الضلعين، والقوّتان متعاكستان فتؤلّفان مزدوجة. أمّا الضلعان الأفقيّان فيوازيان الحقل، فلا قوّة عليهما.

2. 2. احسب عزم المزدوجة الكهرطيسية المؤثرة في الإطار لحظة إمرار التيار السابق.(13 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 8

   عزم المزدوجة الكهرطيسيّة، و$\alpha$ الزاوية بين الحقل والناظم على مستوي الإطار:

   $${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=NIsB\sin \alpha$$

   التعويضالدرجة: 3

   مستوي الإطار يوازي الحقل، فـ $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times 4\times \mathrm{3<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times 1}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}$$

   أي $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->4<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}$، وهو جداء شدّة إحدى القوّتين في ذراع المزدوجة: $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}$.

3. 3. احسب عمل المزدوجة الكهرطيسية عندما ينتقل الإطار من وضعه السابق إلى وضع التوازن المستقر.(13 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 4

   بنظريّة مكسويل، عمل المزدوجة الكهرطيسيّة يساوي جداءَ شدّة التيّار في تغيّر التدفّق:

   $$W=I\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$$

   في سلّم التصحيح: تُحسب درجة هذه العلاقة ضمناً، إذا جاءت داخل العلاقة التالية.

   العلاقةالدرجة: 4

   التدفّق $\mathrm{\Phi }=NBs\cos \alpha$. في الوضع السابق يوازي الحقلُ مستوي الإطار، فـ ${\alpha }_1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$؛ وفي التوازن المستقرّ يعامد الحقلُ المستوي، فـ ${\alpha }_2=0$:

   $$W=INsB(\cos {\alpha }_2-\cos {\alpha }_1)$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle W=4\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}\\ {\displaystyle \times \mathrm{3<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}(1-0)}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$W=\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{J}$$

   العمل موجب، فالمزدوجة محرّكة تُدير الإطار نحو وضع التوازن المستقرّ.

4. 4. نستبدل بسلك التعليق سلك فتل ثابت فتله $k=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{N}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}^{-1}$ لنشكل مقياسا غلفانيا ونمرر في سلك الإطار تيارا كهربائيا شدته ثابتة $I^{\mathrm{\prime }}$ فيدور الإطار بزاوية ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ ويتوازن. انطلاقا من شرط التوازن الدوراني استنتج بالرموز العلاقة المحددة لشدة التيار $I^{\mathrm{\prime }}$ المار في سلك الإطار، واحسب قيمته، ثم احسب قيمة ثابت المقياس الغلفاني $G$.(39 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 8

   عند التوازن مجموع عزوم المزدوجات حول محور الدوران معدوم: عزم المزدوجة الكهرطيسيّة ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}$، وعزم مزدوجة الفتل ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}=0}\\ {\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}+{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=0}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 4+4

   عزم مزدوجة الفتل $-k{\theta }^{\mathrm{\prime }}$، حيث ${\theta }^{\mathrm{\prime }}$ زاوية دوران الإطار:

   $$N{I}^{\mathrm{\prime }}sB\sin \alpha -k{\theta }^{\mathrm{\prime }}=0$$

   العلاقةالدرجة: 2

   دار الإطار ${\theta }^{\mathrm{\prime }}$ من الوضع الذي كان فيه الحقل يوازي مستويه:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha +{\theta }^{\mathrm{\prime }}=\frac{\pi }{2}}\\ {\displaystyle \sin \alpha =\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}}\\ {\displaystyle N{I}^{\mathrm{\prime }}sB\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}-k{\theta }^{\mathrm{\prime }}=0}\end{array}$$

   العلاقةالدرجة: 2

   والزاوية ${\theta }^{\mathrm{\prime }}$ صغيرة، فـ $\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}\approx 1$:

   $$N{I}^{\mathrm{\prime }}sB-k{\theta }^{\mathrm{\prime }}=0$$

   العلاقةالدرجة: 5

   ومنها العلاقة المطلوبة بالرموز:

   $$I^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{k{\theta }^{\mathrm{\prime }}}{NsB}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle NsB=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\times \mathrm{3<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}\\ {\displaystyle \times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}\\ {\displaystyle I^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\times 4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}{\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 1+1

   $$I^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{A}$$

   العلاقةالدرجة: 5

   ثابت المقياس الغلفانيّ نسبة زاوية الدوران إلى شدّة التيّار، أي ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=G{I}^{\mathrm{\prime }}$:

   $$G={\displaystyle \frac{{\theta }^{\mathrm{\prime }}}{I^{\mathrm{\prime }}}}$$

   التعويضالدرجة: 3

   $$G={\displaystyle \frac{4\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}}$$

   الجوابالدرجة: 1

   $$G=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{A}}^{-1}$$

   تحقّق بالعلاقة $G=\frac{NsB}{k}=\frac{\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}}=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{A}}^{-1}$.